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## [$AcWing$ $126$. 最大的和](https://www.acwing.com/problem/content/description/128/)
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#### 关键字
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**最大子段和**，有一维和二维两种情况
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一维：$O(N)$
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二维：$O(n^3)$
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### 一、题目描述
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给定一个包含整数的二维矩阵，子矩形是位于整个阵列内的任何大小为 $1×1$ 或更大的连续子阵列。
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矩形的总和是该矩形中所有元素的总和。
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在这个问题中，具有最大和的子矩形被称为最大子矩形。
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例如，下列数组：
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```cpp {.line-numbers}
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0 -2 -7 0
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9 2 -6 2
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-4 1 -4 1
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-1 8 0 -2
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```
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其最大子矩形为：
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```cpp {.line-numbers}
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9 2
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-4 1
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-1 8
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```
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它拥有最大和 $15$。
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**输入格式**
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输入中将包含一个 $N×N$ 的整数数组。
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第一行只输入一个整数 $N$，表示方形二维数组的大小。
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从第二行开始，输入由空格和换行符隔开的 $N^2$ 个整数，它们即为二维数组中的 $N^2$ 个元素，输入顺序从二维数组的第一行开始向下逐行输入，同一行数据从左向右逐个输入。
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数组中的数字会保持在 $[−127,127]$ 的范围内。
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**输出格式**
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输出一个整数，代表最大子矩形的总和。
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**数据范围**
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$1≤N≤100$
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**输入样例**：
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```cpp {.line-numbers}
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4
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0 -2 -7 0
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9 2 -6 2
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-4 1 -4 1
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-1 8 0 -2
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```
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**输出样例**：
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```cpp {.line-numbers}
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15
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```
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### 二、一维情况
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**测试用例**
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```cpp {.line-numbers}
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7
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5 -2 -4 8 -1 5 4
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```
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**输出**
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```cpp {.line-numbers}
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16
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```
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int INF = 0x3f3f3f3f;
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const int N = 110;
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int a[N], s[N];
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int f[N];
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/*
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7
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5 -2 -4 8 -1 5 4
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输出：
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16
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*/
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int main() {
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int n;
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cin >> n;
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for (int i = 1; i <= n; i++) {
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cin >> a[i];
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s[i] = s[i - 1] + a[i]; // 累加出前缀和
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}
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int res = -INF;
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for (int i = 1; i <= n; i++) {
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f[i] = max(f[i - 1], 0) + a[i];
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res = max(res, f[i]);
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}
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cout << res << endl;
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return 0;
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}
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```
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### 三、二维情况
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左上角和右下角两个点可以确定一个矩形。枚举这两个点要用$4$个$for$循环 如果 **用二维前缀和优化**，那么这个做法的复杂度的就是$O(n^4)$。
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其实这个方案可以优化，那就是 **不枚举点**。
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所以我们可以 **利用前缀和数组表示出每个色块表示的值**，然后做类似找一维数组最大连续和的操作。这样来 **枚举出最优矩形**。
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枚举边界要用$3$个$for$，复杂度为 $O(n^3)$
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#### $Code$
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int INF = 0x3f3f3f3f;
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const int N = 110;
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int g[N][N];
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int main() {
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int n;
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cin >> n;
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for (int i = 1; i <= n; i++)
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for (int j = 1; j <= n; j++) {
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cin >> g[i][j];
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// 累加出并记录同一列的前缀和
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g[i][j] += g[i - 1][j];
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}
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int res = -INF;
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// 枚举边界1，2
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for (int i = 1; i <= n; i++) // 起始行
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for (int j = i; j <= n; j++) { // 终止行
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// 枚举边界p
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int last = 0;
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for (int k = 1; k <= n; k++) {
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last = max(last, 0) + g[j][k] - g[i - 1][k];
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res = max(res, last);
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}
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}
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cout << res << endl;
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return 0;
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}
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``` |