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GESP202506 第2题题解
一、题目描述
1.1 问题大意
给定n个正整数a₁,a₂,…,aₙ，以及q组询问。对于每组询问i（1≤i≤q），请输出gcd(a₁+i,a₂+i,…,aₙ+i)的值，也就是所有数加上i后的最大公约数。
1.2 输入格式
第一行，两个正整数n和q，分别表示给定正整数的数量，以及询问的组数。 第二行，n个正整数a₁,a₂,…,aₙ。 接下来q行，每行包含一个正整数i，表示每组询问的参数。
1.3 输出格式
输出q行，每行包含一个正整数，表示第i组询问对应的所有数加i后的最大公约数。
二、解题思路
2.1 数学原理
这道题的关键在于利用一个重要的数学性质：
对于任意正整数x，有： gcd(a₁+x, a₂+x, ..., aₙ+x) = gcd(gcd(a₂-a₁, a₃-a₁, ..., aₙ-a₁), a₁+x)
这个性质的证明如下：
- 设d = gcd(a₁+x, a₂+x, ..., aₙ+x)
- 则d整除(a₂+x)-(a₁+x) = a₂-a₁，同理d整除a₃-a₁, ..., aₙ-a₁
- 因此d整除gcd(a₂-a₁, a₃-a₁, ..., aₙ-a₁)
- 同时d整除a₁+x
- 所以d整除gcd(gcd(a₂-a₁, a₃-a₁, ..., aₙ-a₁), a₁+x)
- 反过来，设g = gcd(gcd(a₂-a₁, a₃-a₁, ..., aₙ-a₁), a₁+x)
- 则g整除a₁+x，且g整除所有的a_i-a₁
- 因此g整除(a₁+x)+(a_i-a₁) = a_i+x，对所有i成立
- 所以g整除gcd(a₁+x, a₂+x, ..., aₙ+x)
- 综上，两者相等
2.2 算法思路
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- 实际上，根据数学性质，只需要计算所有元素与第一个元素差的GCD
- 但计算相邻元素差的GCD可以更高效地得到相同的结果
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