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AcWing 854. floyd 求最短路
一、题目描述
给定一个 n 个点 m 条边的有向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。
再给定 k 个询问，每个询问包含两个整数 x 和 $y$，表示查询从点 x 到点 $y$的最短距离，如果路径不存在，则输出 impossible。
数据保证图中不存在负权回路。
输入格式 第一行包含三个整数 $n,m,k$。
接下来 m 行，每行包含三个整数 $x,y,z$，表示存在一条从点 x 到点 y 的有向边，边长为 $z$。
接下来 k 行，每行包含两个整数 $x,y$，表示询问点 x 到点 y 的最短距离。
输出格式
共 k 行，每行输出一个整数，表示询问的结果，若询问两点间不存在路径，则输出 impossible。
数据范围
1≤n≤200,1≤k≤n^2,1≤m≤20000,
图中涉及边长绝对值均不超过 $10000$。
输入样例：
3 3 2
1 2 1
2 3 2
1 3 1
2 1
1 3
输出样例：
impossible
1
二、理解和感悟
-
$Floyd$可以求多源最短路径，这是其它算法做不到的。
-
$Floyd$可以处理负权边，但不能处理负权回路。
-
核心就是初始化+三重循环，注意顺序是$k-i-j$，不能反了！$Floyd$是有动态规划思想的算法。
原理解析： $f[k][i][j]$表示$i$和$j$之间可以通过编号为$1..k$的节点的最短路径 初值$f[0][i][j]$为原图的邻接矩阵
- $i$到$j$不经过$k$这个节点: $f[k][i][j]$可以从$f[k-1][i][j]$转移
- $i$到$j$经过$k$这个节点: 从$f[k-1][i][k]+f[k-1][k][j]$转移
即f[k][i][j]=min(f[k-1][i][j],f[k-1][i][k]+f[k-1][k][j])
然后你就会发现最外层一维空间可以省略，因为$f[k]$只$f[k-1]$与有关。
总结： 一句话，$Floyd$算法的本质是$DP$，而$k$是$DP$的阶段，因此要写最外面。
三、实现代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 210;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m, k;
int d[N][N];
// 算法结束后，d[a][b]表示a到b的最短距离
void floyd() {
for (int k = 1; k <= n; k++)
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= n; j++)
d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
}
int main() {
cin >> n >> m >> k;
// floyd初始化
memset(d, 0x3f, sizeof d); // 任意两点间距离正无穷
for (int i = 0; i < N; i++) d[i][i] = 0; // 自己和自己是距离为0的
// 读入数据
while (m--) {
int a, b, c;
cin >> a >> b >> c;
d[a][b] = min(d[a][b], c); // 保留最短边.(可能有重边，保留最短边)
}
// 调用floyd
floyd();
// 处理所有询问
while (k--) {
int a, b;
cin >> a >> b;
// 由于有负权边存在所以约大过INF/2也很合理
if (d[a][b] > INF / 2)
puts("impossible");
else
printf("%d\n", d[a][b]);
}
return 0;
}