112 lines
3.0 KiB
Markdown
112 lines
3.0 KiB
Markdown
##[$AcWing$ $900$. 整数划分](https://www.acwing.com/problem/content/description/902/)
|
||
|
||
### 一、题目描述
|
||
一个正整数 $n$ 可以表示成若干个正整数之和，形如：$n=n_1+n_2+…+n_k$，其中 $n_1≥n_2≥…≥n_k,k≥1$。
|
||
|
||
我们将这样的一种表示称为正整数 $n$ 的一种划分。
|
||
|
||
现在给定一个正整数 $n$，请你求出 $n$ 共有多少种不同的划分方法。
|
||
|
||
**输入格式**
|
||
共一行，包含一个整数 $n$。
|
||
|
||
**输出格式**
|
||
共一行，包含一个整数，表示总划分数量。
|
||
|
||
由于答案可能很大，输出结果请对 $10^9+7$ 取模。
|
||
|
||
**数据范围**
|
||
$1≤n≤1000$
|
||
|
||
**输入样例**:
|
||
```cpp {.line-numbers}
|
||
5
|
||
```
|
||
|
||
**输出样例**：
|
||
```cpp {.line-numbers}
|
||
7
|
||
```
|
||
|
||
|
||
### 二、解题思路
|
||
把整数$n$看成一个容量为$n$的背包，有$n$种物品，物品的体积分别是$1-n$,我们要求的是 **恰好** 装满背包的方案数(**计数**)，每种物品 **可以用无限次**，所以可以看成是一个完全背包。
|
||
|
||
先考虑二维的状态描述方法：
|
||
|
||
$f[i,j]$：从前$i$中选，总和是$j$的选法,值就是方案数量。
|
||
|
||
- 第$i$个物品选择了$0$个
|
||
表达式：$f[i-1,j]$ ，含义：在前$i$个物品中选择，结果现在第$i$个物品选择了$0$个，就是说这$j$个体积都是前$i-1$贡献的。
|
||
|
||
- 第$i$个物品选择了$1$个
|
||
表达式：$f[i-1,j-1 * i]$ 含义：在前$i$个物品中选择，结果现在第$i$个物品选择了$1$个，就是说这 $j-1*i$ 个体积都是前$i-1$贡献的。
|
||
|
||
- 第$i$个物品选择了2个
|
||
$f[i-1,j-2*i]$
|
||
|
||
...
|
||
- 第$i$个物品选择了s个
|
||
$f[i-1,j-s*i]$
|
||
|
||
|
||
**初值问题**
|
||
|
||
求最大值时，当都不选时，价值显然是 $0$。
|
||
|
||
求方案数时，当都不选时，方案数是 $1$
|
||
|
||
即：
|
||
```c++
|
||
for (int i = 0; i <= n; i ++) f[i][0] = 1;
|
||
```
|
||
|
||
### 二、二维代码
|
||
```cpp {.line-numbers}
|
||
#include <bits/stdc++.h>
|
||
|
||
using namespace std;
|
||
|
||
const int N = 1010;
|
||
const int MOD = 1e9 + 7;
|
||
int n;
|
||
int f[N][N];
|
||
|
||
int main() {
|
||
cin >> n;
|
||
for (int i = 1; i <= n; i++) f[i][0] = 1;
|
||
|
||
for (int i = 1; i <= n; i++) // 枚举每个物品，物品的序号与物品的体积是相等的，都是i
|
||
for (int j = 1; j <= n; j++) { // 枚举背包容量j
|
||
if (j >= i) // ① 背包容量j>=当前体积i,可以选择当前数字
|
||
f[i][j] = (f[i][j - i] + f[i - 1][j]) % MOD;
|
||
else
|
||
f[i][j] = f[i - 1][j] % MOD; // ② 放弃当前数字
|
||
}
|
||
|
||
cout << f[n][n] << endl;
|
||
return 0;
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
### 三、一维代码
|
||
```cpp {.line-numbers}
|
||
#include <bits/stdc++.h>
|
||
|
||
using namespace std;
|
||
|
||
const int N = 1010;
|
||
const int MOD = 1e9 + 7;
|
||
int f[N];
|
||
int n;
|
||
|
||
int main() {
|
||
cin >> n;
|
||
f[0] = 1; // 容量为0时，前 i 个物品全不选也是一种方案
|
||
for (int i = 1; i <= n; i++)
|
||
for (int j = i; j <= n; j++) // 完全背包从小到大
|
||
f[j] = (f[j] + f[j - i]) % MOD;
|
||
cout << f[n] << endl;
|
||
return 0;
|
||
}
|
||
``` |