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一、题目描述
给定一个字符串 $S$，以及一个模式串 $P$，所有字符串中只包含大小写英文字母以及阿拉伯数字。
模式串 P 在字符串 S 中多次作为子串出现。
求出模式串 P 在字符串 S 中所有出现的位置的起始下标。
输入格式
第一行输入整数 $N$，表示字符串 P 的长度。
第二行输入字符串 $P$。
第三行输入整数 $M$，表示字符串 S 的长度。
第四行输入字符串 $S$。
输出格式
共一行，输出所有出现位置的起始下标（下标从 0 开始计数），整数之间用空格隔开。
数据范围
1≤N≤10^5
1≤M≤10^6
输入样例：
3
aba
5
ababa
输出样例：
0 2
二、暴力解法
解决子串匹配的暴力算法很容易，子串的首部和字符串的第 i 个对齐，开始匹配，直到匹配成功或者匹配失败；如果匹配失败，则子串的首部需要和字符串的第 i+1 个对齐，并重新开始匹配:
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实现代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int find(string p, string s) {
int n = s.size(), i = 0;
int m = p.size(), j = 0;
for (i = 0; i <= n - m; i++) {
for (j = 0; j < m; j++)
if (p[j] != s[i + j]) break;
if (j == m) return i;
}
return -1;
}
int main() {
string txt = "aaacaaab", pat = "aaab";
cout << find(pat, txt) << endl;
// 答案：4
// 表示从索引号为4开始存在第一个匹配
return 0;
}
三、 KMP 算法
KMP 算法，通常用于在一个 文本字符串$S$ 中查找一个 匹配串P 的 出现位置 和 出现次数。
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步骤说明
-
步骤一 判断此时的$i,j$是否超出各自字符串的限制:
-
若$j$超出$P$的限制则退出并返回匹配成功处的位置下标,表示完成了子串的完整匹配
-
若$i$超出$S$的限制，则退出并说明无解
-
比较
S[i],$P[j]$:- 若$S[i]==P[j]$或者$j==−1$，则$i + + , j + +$，重复步骤一
- 若$S[i]\neq P[j]$，进入步骤二
-
-
步骤二 失配时，$i$不变,$j=ne[j]$,进入步骤一
$Q:ne$数组是怎么生成的？
假设一个 模式串 长度为n,则存在$n$个前缀与$n$个后缀，舍去其中长度为$n$的情况，则剩下$n − 1$个前缀与$n−1$个后缀，前缀与后缀的最大匹配就是该字符串的最长公共前缀后缀长度, $ne[i]$代表的就是前$i$个字符组成的子串中，最长公共前后缀的长度
由上可知，$ne$的最小值就是$0$（不包括第一个位置哨兵位置的$−1$）
比如说当前字符串为A B C D A B
则有：
当失配时，$j=ne[j]$，充分利用已知信息，找出模式串中最值得再次匹配的位置
求$ne$数组和$kmp$很相似，相当于自己找自己的匹配串ne[1] = 0;下标从$2$开始,紧扣定义。
四、C++ 代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100010; // 模板串最大长度限制
const int M = 1000010; // 模式串最大长度限制
int n; // 短串长度
int m; // 长串长度
int ne[N]; // next数组
char s[M]; // 长串
char p[N]; // 短串
int main() {
cin >> n >> (p + 1) >> m >> (s + 1);
// 一、求ne数组
// i:当前试图进行匹配的S串字符，j+1是模板串当前试图与S串i位置进行匹配的字符
// j:表示已匹配的长度，一直都在尝试让j+1位和i位进行匹配,退无可退，无需再退。
// i:是从2开始的，因为ne[1]=0,表示第1个不匹配，只能重头开始，不用算
for (int i = 2, j = 0; i <= n; i++) {
while (j && p[i] != p[j + 1]) j = ne[j];
// 如果是匹配情况发生了，那么j移动到下一个位置
if (p[i] == p[j + 1]) j++;
// 记录j到ne数组中
ne[i] = j;
}
// 二、匹配字符串
// i:当前试图进行对比的S串位置
// j:最后一个已完成匹配的P串位置，那么，当前试图与S串当前位置i进行尝试对比匹配的位置是j+1
for (int i = 1, j = 0; i <= m; i++) {
while (j && s[i] != p[j + 1]) j = ne[j]; // 不行就退吧,当j==0时，表示退无可退，无需再退
// 如果是匹配情况发生了，那么j移动到下一个位置
if (s[i] == p[j + 1]) j++; // 匹配则指针前行，i不用++，因为它在自己的for循环中，自带++
if (j == n) { // 如果匹配到最大长度，说明完成了所有位置匹配
printf("%d ", i - n); // 输出开始匹配位置
j = ne[j]; // 回退，尝试继续进行匹配，看看还有没有其它可以匹配的位置
}
}
return 0;
}