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取整函数及其性质
1、取整函数定义及分类
取整函数是一类将实数映射到相近的整数的函数。
常用的取整函数有两个，分别是下取整函数和上取整函数。
下取整函数在数学中一般记作$\left \lfloor x \right \rfloor$，比自己小的最大整数，在计算机科学中一般记作$floor(x)$；
上取整函数在数学中一般记作$\left \lceil x \right \rceil$，比自己大的最小整数，在计算机科学中一般记作$ceil(x)$。
2、性质：(仅列举计算机学习中经常用到的性质)
-
任意实数
x,有:x−1<⌊x⌋≤x≤⌈x⌉<x+1 -
下取整函数为等幂运算:
\left \lfloor \left \lfloor x \right \rfloor \right \rfloor = \left \lfloor x \right \rfloor. -
对任意的整数
k和任意实数 $x$，\left \lfloor k+x \right \rfloor = k + \left \lfloor x \right \rfloor -
一般的数值修约规则可以表述为将$x$映射到 $floor(x + 0.5)$。
-
\left \lceil x \right \rceil = - \left \lfloor -x \right \rfloor -
对于整数$k$有：
\left \lfloor k/2 \right \rfloor + \left \lceil k/2 \right \rceil = k
3、对数与取整函数的关系
二者关系为:
\left \lceil \log (x+1) \right \rceil = \left \lfloor \log x \right \rfloor +1, x\in Z, x\geqslant 1
证明：
令$m = \left \lfloor \log x \right \rfloor$，
则 m \leq \log x < m+1 ①
由式①可得
2^{m} \leq x < 2^{m+1} ②,
进而可得
2^{m} < x+1 \leq 2^{m+1}
因为 x\in Z, 所以 m < \log (x+1) \leq m+1.
所以 \left \lceil \log (x+1) \right \rceil = m+ 1= \left \lfloor \log x \right \rfloor + 1.
4、向下取整与向上取整的转换方法
我们知道，一般在程序语言中，两个整数相除都是向下取整。例如，$5/3=1,2/3=0$；
那么向上取整该如何表示呢，也就是说，向上取整能不能通过向下取整的方式来表达？
当然可以，下面是转换公式：
