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## 思路
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### 一、前置知识
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#### 1、什么是逆元
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#### 2、为什么要创造逆元的概念
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### 二、乘法逆元
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$A$除以一个数模$P$，等于$A$乘以这个数的乘法逆元模$P$。
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$(A/B)\% 9937 = (A*B^{-1}) \%9973$. 这里的$B^{-1}$ 代表乘法逆元,而不是$\frac{1}{B}$.
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所以我们只需要求解出$B$对于$9973$的 <font color='red'><b>乘法逆元$B^{-1}$</b></font> 即可。
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### 三、解法一：费马小定理求解乘法逆元
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<font color='red'><b>只适用于模数为质数的情况</b></font>
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若$a$是一个整数(除法分母)，$b$是一个质数(模)，那么 $a^b ≡ a(mod \ b)$ 或 $a^{b-1}≡1 (mod\ b)$
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由扩展欧几里得可以得出：
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因为$gcd(a,b) = 1, ax ≡ 1(mod \ b)$ $x$是**乘法逆元**
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$a^{b-1} = a*a^{b-2}= ax ≡1(mod \ b)$. 所以 $x = a^{b-2}$就是乘法逆元。 可以通过快速幂求解。
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在本题求$x = a^{9973-2}$。
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```c++
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// https://vjudge.csgrandeur.cn/problem/HDU-1576
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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typedef long long LL;
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/*
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测试用例
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2
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1000 53
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87 123456789
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答案
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7922
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6060
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总结：
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1、如果使用费马小定理+快速幂求逆元，一定要注意使用LL，防止爆int。
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*/
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const int MOD = 9973;
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LL qmi(LL a, LL k, LL p) {
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LL res = 1;
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while (k) {
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if (k & 1) res = res * a % p; //如果res是int,可能会越界
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k >>= 1;
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a = a * a % p; //如果a是int, 可能会越界
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}
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return res;
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}
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int main() {
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int T;
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cin >> T;
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while (T--) {
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LL a, b;
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cin >> a >> b;
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LL x;
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x = qmi(b, MOD - 2, MOD); // b理解为分母,同余MOD的逆元,变除法为乘法
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LL res = a * x % MOD; // a* b在模MOD下的逆元 x
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printf("%lld\n", res);
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}
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return 0;
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}
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```
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### 四、解法二：扩展欧几里得
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<font color='red'><b>根据 扩展欧几里得 : 模数可以 不为质数</b></font>
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因为$gcd(B,9973) = 1$，所以 $Bx ≡ 1(mod \ 9973)$, $x$ 是 $B^{-1}$，也就是$B$的乘法逆元
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通过`ex_gcd(B,9973)`求出来的`x`就是$B^{-1}$,因为求出来的$x$可能是负数,利用通解所以处理一下
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```C++
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x = (x % t + t) % t;
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```
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实现代码
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```c++
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// https://vjudge.csgrandeur.cn/problem/HDU-1576
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#include <bits/stdc++.h>
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typedef long long LL;
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/*
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测试用例
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2
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1000 53
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87 123456789
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答案
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7922
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6060
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*/
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using namespace std;
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const int MOD = 9973;
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LL exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y) {
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if (!b) {
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x = 1, y = 0;
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return a;
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}
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LL d = exgcd(b, a % b, y, x);
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y -= a / b * x;
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return d;
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}
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int main() {
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int t;
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cin >> t;
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while (t--) {
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LL x, y;
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LL a, b;
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cin >> a >> b;
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exgcd(b, MOD, x, y);
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x = (x % MOD + MOD) % MOD; //对比使用费马小定理，这里对于扩展欧几里得算出的逆元，还需要进一步模一下 MOD才行，否则可能是负的
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cout << (x * a) % MOD << endl;
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}
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return 0;
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}
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``` |