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## [$P3372$ 【模板】线段树 1 ](https://www.luogu.com.cn/problem/P3372)
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## 题目描述
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如题，已知一个数列，你需要进行下面两种操作：
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1. 将某区间每一个数加上 $k$。
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2. 求出某区间每一个数的和。
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## 输入格式
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第一行包含两个整数 $n, m$，分别表示该数列数字的个数和操作的总个数。
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第二行包含 $n$ 个用空格分隔的整数，其中第 $i$ 个数字表示数列第 $i$ 项的初始值。
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接下来 $m$ 行每行包含 $3$ 或 $4$ 个整数，表示一个操作，具体如下：
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1. `1 x y k`：将区间 $[x, y]$ 内每个数加上 $k$。
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2. `2 x y`：输出区间 $[x, y]$ 内每个数的和。
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## 输出格式
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输出包含若干行整数，即为所有操作 2 的结果。
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## 样例 #1
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### 样例输入 #1
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```
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5 5
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1 5 4 2 3
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2 2 4
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1 2 3 2
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2 3 4
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1 1 5 1
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2 1 4
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```
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### 样例输出 #1
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```
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11
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8
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20
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```
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## 提示
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对于 $30\%$ 的数据：$n \le 8$，$m \le 10$。
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对于 $70\%$ 的数据：$n \le {10}^3$，$m \le {10}^4$。
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对于 $100\%$ 的数据：$1 \le n, m \le {10}^5$。
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保证任意时刻数列中所有元素的绝对值之和 $\le {10}^{18}$。
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**【样例解释】**
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### 二、线段树解法
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```cpp {.line-numbers}
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#include <iostream>
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using namespace std;
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const int N = 100010;
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int n, q;
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// 线段树模板
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#define int long long
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#define ls u << 1
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#define rs u << 1 | 1
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#define mid ((l + r) >> 1)
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struct Node {
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int l, r;
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int sum, add; // 区间总和，累加懒标记
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} tr[N << 2];
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// 更新统计信息
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void pushup(int u) {
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tr[u].sum = tr[ls].sum + tr[rs].sum;
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}
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void pushdown(int u) {
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if (tr[u].add == 0) return;
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tr[ls].add += tr[u].add;
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tr[rs].add += tr[u].add;
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tr[ls].sum += (tr[ls].r - tr[ls].l + 1) * tr[u].add;
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tr[rs].sum += (tr[rs].r - tr[rs].l + 1) * tr[u].add;
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tr[u].add = 0; // 清除懒标记
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}
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// 构建
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void build(int u, int l, int r) {
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tr[u].l = l, tr[u].r = r; // 标记范围
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if (l == r) { // 叶子
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cin >> tr[u].sum; // 区间内只有一个元素l(r),区间和为read(),不需要记录向下的传递tag
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return;
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}
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build(ls, l, mid), build(rs, mid + 1, r); // 左右儿子构建
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pushup(u); // 通过左右儿子构建后，向祖先节点反馈统计信息变化
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}
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// 区间所有元素加上v
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void modify(int u, int L, int R, int v) {
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int l = tr[u].l, r = tr[u].r;
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if (l >= L && r <= R) { // 如果完整被覆盖
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tr[u].sum += (r - l + 1) * v;
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tr[u].add += v;
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return;
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}
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if (l > R || r < L) return; // 如果没有交集
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pushdown(u); // 下传懒标记
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modify(ls, L, R, v), modify(rs, L, R, v); // 修改左，修改右
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pushup(u); // 向上汇报统计信息
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}
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// 查询
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int query(int u, int L, int R) {
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int l = tr[u].l, r = tr[u].r;
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if (l >= L && r <= R) return tr[u].sum; // 如果完整被覆盖
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if (l > R || r < L) return 0; // 如果没有交集
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pushdown(u); // 下传懒标记
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return query(ls, L, R) + query(rs, L, R); // 查询左+查询右
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}
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signed main() {
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// 文件输入输出
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#ifndef ONLINE_JUDGE
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freopen("P3372.in", "r", stdin);
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#endif
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// 加快读入
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ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
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cin >> n >> q;
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// 构建线段树
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build(1, 1, n);
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while (q--) {
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int op, l, r, v;
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cin >> op >> l >> r;
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if (op == 1)
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cin >> v, modify(1, l, r, v);
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else
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printf("%lld\n", query(1, l, r));
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}
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return 0;
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}
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```
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||
> **注**：加法的懒标记可以叠加，一般初始化为$0$
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### 三、动态开点线段树解法
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 5e5 + 10;
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// 动态开点线段树
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#define int long long
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#define ls tr[u].l
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#define rs tr[u].r
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#define mid ((l + r) >> 1)
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struct Node {
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int l, r;
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int sum, add;
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} tr[N << 1];
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int root, idx;
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// 汇总统计信息
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void pushup(int u) {
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tr[u].sum = tr[ls].sum + tr[rs].sum;
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}
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// 创建节点：节点号分配，懒标记初始化
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void build(int &u) {
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if (u) return;
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u = ++idx;
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// tr[u].add = 0;
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}
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void pushdown(int &u, int l, int r) {
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if (tr[u].add == 0) return; // 如果没有累加懒标记，返回
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build(ls); // 左儿子创建
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build(rs); // 右儿子创建
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// 懒标记下传
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tr[ls].sum += tr[u].add * (mid - l + 1); // 区间和增加=懒标记 乘以 区间长度
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tr[rs].sum += tr[u].add * (r - mid);
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tr[ls].add += tr[u].add; // 加法的懒标记可以叠加
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tr[rs].add += tr[u].add;
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// 清除懒标记
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tr[u].add = 0;
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}
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// 区间修改
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void modify(int &u, int l, int r, int L, int R, int v) {
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build(u); // 动态开点
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if (l >= L && r <= R) { // 如果区间被完整覆盖
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tr[u].add += v; // 加法的懒标记可以叠加
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tr[u].sum += v * (r - l + 1); // 区间和增加=懒标记 乘以 区间长度
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return;
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}
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if (l > R || r < L) return; // 如果没有交集
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// 下传懒标记
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pushdown(u, l, r);
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// 分裂
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modify(ls, l, mid, L, R, v), modify(rs, mid + 1, r, L, R, v);
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// 汇总
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pushup(u);
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}
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// 区间查询
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int query(int u, int l, int r, int L, int R) {
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if (l >= L && r <= R) return tr[u].sum; // 如果完整命中，返回我的全部
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if (l > R || r < L) return 0; // 如果与我无关,返回0
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pushdown(u, l, r);
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return query(ls, l, mid, L, R) + query(rs, mid + 1, r, L, R);
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}
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||
/*
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参考答案：
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11
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8
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20
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*/
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signed main() {
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#ifndef ONLINE_JUDGE
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||
freopen("P3372.in", "r", stdin);
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||
#endif
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// 加快读入
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ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
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int n, m;
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cin >> n >> m; // n个节点，m次操作
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for (int i = 1; i <= n; i++) {
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int x;
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cin >> x;
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modify(root, 1, n, i, i, x); // 单点修改,赋初值
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}
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while (m--) {
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int op, l, r;
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cin >> op >> l >> r;
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if (op == 1) {
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int x;
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cin >> x;
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modify(root, 1, n, l, r, x); //[l,r]区间修改为x
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} else
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cout << query(root, 1, n, l, r) << endl; // 区间sum和
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}
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return 0;
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}
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```
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### 四、树状数组实现【不推荐】
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区间修改和区间查询,正解还是线段树，不应该是树状数组+推公式，非得要做的话，也可以推导一下：
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#### 区间修改，单点查询
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如果是区间修改，单点查询。只需用树状数组维护一个差分数组$b$,假设查询位置$x$，那么$\displaystyle \sum_{i=1}^{x}b_i$就是$x$位置上的变化后的值。
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#### 区间修改+区间和查询
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考虑引入区间查询。首先最暴力想，假设查询$[1,r]$。那么$[1,r]$的答案=$\displaystyle \sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{i}b_j$
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不妨举个特例，更直观些。假设查询$[1, 4]$。那么$ans=(b_1)+(b_1+b_2)+(b_1+b_2+b_3)+(b_1+b_2+b_3+b_4)=4b_1+3b_2+2b_3+1b_4$。
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换成查询$[1, r]$。那么$\displaystyle ans=(r+1-1)b_1+(r+1-2)b_2+(r+1-3)b_3+…+(r+1-r)b_r = (r+1)\sum_{i=1}^{r}b_i-\sum_{i=1}^{r}i*b_i$
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显然第一项用树状数组$tr1$维护$b$数组可求出,第二项求不出。令$c=i*b[i]$，新开一个树状数组$tr2$维护$c$就行了。
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#### 实现代码
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 1000010;
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typedef long long LL;
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int n, m; // n个元素，m次操作
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int a[N]; // 原始数组
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LL tr1[N], tr2[N]; // ① 保存基底数组为原数组差分数组的树状数组 ② i*b[i]的前缀和数组
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// 树状数组模板
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int lowbit(int x) {
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return x & -x;
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}
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void add(int x, int c) {
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for (int i = x; i < N; i += lowbit(i)) tr1[i] += c, tr2[i] += x * c;
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}
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LL sum(int x) {
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LL res = 0;
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for (int i = x; i; i -= lowbit(i)) res += (x + 1) * tr1[i] - tr2[i];
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return res;
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}
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int main() {
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scanf("%d %d", &n, &m);
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int x, y, d, op;
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for (int i = 1; i <= n; i++) {
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scanf("%d", &a[i]);
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add(i, a[i] - a[i - 1]); // 保存基底是差分数组的树状数组
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}
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while (m--) {
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scanf("%d %d %d", &op, &x, &y);
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if (op == 1) {
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scanf("%d", &d);
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add(x, d), add(y + 1, -d); // 维护差分
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} else // 查询
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printf("%lld\n", sum(y) - sum(x - 1));
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}
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return 0;
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}
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```
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