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##[$P3919$ 【模板】可持久化线段树 $1$（可持久化数组）](https://www.luogu.com.cn/problem/P3919)
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### 一、题目描述
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如题，你需要维护这样的一个长度为 $N$ 的数组，支持如下几种操作:
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* 在某个历史版本上修改某一个位置上的值
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* 访问某个历史版本上的某一位置的值
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此外，每进行一次操作（对于操作$2$，即为生成一个完全一样的版本，不作任何改动），就会生成一个新的版本。版本编号即为当前操作的编号（从$1$开始编号，版本$0$表示初始状态数组）
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**输入格式**
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输入的第一行包含两个正整数 $N, M$，分别表示数组的长度和操作的个数。
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第二行包含$N$个整数，依次为初始状态下数组各位的值（依次为 $a_i$，$1≤i≤N$）。
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接下来$M$行每行包含$3$或$4$个整数，代表两种操作之一（$i$为基于的历史版本号）：
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对于操作$1$，格式为$v_i \ 1 \ {loc}_i \ {value}_i$ ，即为在版本$v_i$ 的基础上，将 $a_{{loc}_i}$
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修改为 ${value}_i$
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对于操作$2$，格式为$v_i \ 2 \ {loc}_i$，即访问版本$v_i$ 中的 $a_{{loc}_i}$ 的值，生成一样版本的对象应为$v_i$
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**输出格式**
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输出包含若干行，依次为每个操作$2$的结果。
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### 二、解题思路
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用主席树做,每次比之前会多$log$个点，空间上还过得去。
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每题有两个与前面模板不一样的地方：
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* 需要在$build$时初始化$0$版本主席树，因为有初始值$a[i]$
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* 原来的主席树，都是空的，然后不断的$insert$进来，我还以为只能这样，其实主席树和线段树是一样的，当然也可以有$update$等操作，这时，就需要扩展结构体$Node$,增加一个$v$属性，代表某个节点的$v$值，此时，因为要修改的是节点值，也无法采用什么懒标记了，就是一路向下递归，找到节点为止，时间和空间上都还过得去。
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### 三、实现代码
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```cpp {.line-numbers}
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#include <algorithm>
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#include <cstdio>
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#include <cmath>
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#include <cstring>
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using namespace std;
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const int N = 1000010;
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struct Node {
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int l, r, v;
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} tr[N << 5];
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int root[N], idx;
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int n, m, a[N];
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//快读
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int read() {
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int x = 0, f = 1;
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char ch = getchar();
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while (ch < '0' || ch > '9') {
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if (ch == '-') f = -1;
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ch = getchar();
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}
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while (ch >= '0' && ch <= '9') {
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x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48);
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ch = getchar();
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}
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return x * f;
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}
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// build的原因，是因为有初始值，版本0不是空的
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void build(int &u, int l, int r) {
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u = ++idx;
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if (l == r) {
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tr[u].v = a[l];
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return;
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}
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int mid = (l + r) >> 1;
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build(tr[u].l, l, mid);
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build(tr[u].r, mid + 1, r);
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}
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void update(int &u, int l, int r, int x, int v) {
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tr[++idx] = tr[u];
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u = idx;
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if (l == r) {
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tr[idx].v = v;
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return;
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}
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int mid = (l + r) >> 1;
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if (mid >= x)
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update(tr[u].l, l, mid, x, v);
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else
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update(tr[u].r, mid + 1, r, x, v);
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}
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int query(int u, int l, int r, int x) {
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if (l == r) return tr[u].v;
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int mid = (l + r) >> 1;
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if (mid >= x)
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return query(tr[u].l, l, mid, x);
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else
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return query(tr[u].r, mid + 1, r, x);
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}
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/*
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答案：
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59
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87
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41
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87
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88
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46
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*/
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int main() {
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//文件输入输出
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#ifndef ONLINE_JUDGE
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freopen("P3919.in", "r", stdin);
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#endif
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n = read(), m = read();
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for (int i = 1; i <= n; i++) a[i] = read();
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//构建主席树,因为有初始化值a[i]
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build(root[0], 1, n);
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for (int i = 1; i <= m; i++) {
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int x = read(), op = read(), y = read();
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if (op == 1) {
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// op=1:修改 x这个版本,管辖范围[1,n],将a[y]的值，即y这个位置,修改为v
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int v = read();
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root[i] = root[x];
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update(root[i], 1, n, y, v);
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} else {
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// op=2：访问版本x中，y这个位置上的值
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root[i] = root[x];
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printf("%d\n", query(root[i], 1, n, y));
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}
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}
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return 0;
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}
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``` |