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## [$AcWing$ $455$. 小朋友的数字](https://www.acwing.com/problem/content/457/)
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### 一、题目描述
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有 $n$ 个小朋友排成一列。
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每个小朋友手上都有一个 **数字**，这个数字可正可负。
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> **注**：$a[i]$
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规定每个小朋友的 **特征值** 等于排在他前面（包括他本人）的小朋友中**连续若干个**（最少有一个）小朋友手上的**数字之和的最大值**。
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> **注：$b[i]$=特征值=最大子段和**
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作为这些小朋友的老师，你需要给每个小朋友一个 **分数** ，分数是这样规定的：
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> **注**：$c[i]$
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第一个小朋友的分数是他的特征值
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> **注**：$c[1]=b[1]$
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其它小朋友的分数为排在他前面的所有小朋友中（不包括他本人），小朋友分数加上其特征值的最大值。
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请**计算所有小朋友分数的最大值**，输出时保持最大值的符号，将其**绝对值**对 $p$ 取模后输出。
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**输入格式**
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第一行包含两个正整数 $n、p$，之间用一个空格隔开。
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第二行包含 $n$ 个数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示每个小朋友手上的数字。
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**输出格式**
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输出只有一行，包含一个整数，表示最大分数对 $p$取模的结果。
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**数据范围**
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$1≤n≤10^6,1≤p≤10^9$,其他数字的绝对值均不超过$10^9$
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**输入样例1** ：
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```cpp {.line-numbers}
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5 997
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1 2 3 4 5
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```
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**输出样例 1**：
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```cpp {.line-numbers}
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21
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```
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**输入样例 2**：
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```cpp {.line-numbers}
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5 7
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-1 -1 -1 -1 -1
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```
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**输出样例 2**：
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```cpp {.line-numbers}
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-1
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```
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### 二、前置知识
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**[$AcWing$ $126$. 最大的和](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/17744300.html)**
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我们用 生活场景类比 ，把这三个概念说得更直白一些：
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#### 1. 数字（对应代码里的 $x$ ）
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- 直白解释： 每个小朋友本身带有的一个数 （可能是正数、负数或0）。
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- 举例：比如3个小朋友，他们的数字分别是 3 、 -1 、 4 。这就是题目直接给的原始数据。
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#### 2. 特征值（对应代码里的 $f[i]$）
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- 直白解释： 前$i$个小朋友的数字中，选一段连续的数字相加，能得到的最大的和 。
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- 关键点：必须是「连续的一段」，不能跳着选；目标是找出这段连续数字的和最大是多少。
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- 举例：
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- 前1个小朋友（数字3）：只能选他自己，特征值是 3 。
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- 前2个小朋友（数字3、-1）：可以选「3」（和3）或「3+-1=2」，最大的是 3 ，所以特征值是 3 。
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- 前3个小朋友（数字3、-1、4）：可以选「3+-1+4=6」或「4」，最大的是 6 ，所以特征值是 6 。
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- 注意：如果前i个数字全是负数，特征值就是最大的那个负数（比如数字是-2、-1，前2个的特征值是-1）。
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#### 3. 分数（对应代码里的 $res$ 和 $score$ 维护的值）
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- 直白解释： 每个小朋友的最终得分 ，计算规则分两种情况：
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- 第1个小朋友：分数 = 他的特征值（因为前面没有其他小朋友）。
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- 第i个小朋友（i>1）：分数 = 前面所有小朋友中，「分数+特征值」的最大值。
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- 核心逻辑：后面的小朋友可以「继承」前面某个小朋友的分数和特征值之和，取最大的那个作为自己的分数。
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- 举例（接上面的特征值例子）：
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- 第1个小朋友分数： 3 （他的特征值）。
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- 第2个小朋友分数：前面只有第1个小朋友，所以分数是 3+3=6 。
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- 第3个小朋友分数：前面有第1和第2个小朋友，计算 3+3=6 和 6+3=9 ，取最大的 9 。
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- 注意：分数可能会非常大，所以代码里用了 __int128 来防止溢出，最后再对 p 取模输出。
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#### 三者的关系
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数字 →（计算最大子段和）→ 特征值 →（计算前面分数+特征值的最大值）→ 分数
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简单来说：数字是原始数据，特征值是数字的「连续和最大值」，分数是基于前面所有小朋友的「分数+特征值」推导出来的最终结果。
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### 三、解题思路
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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typedef long long LL;
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const int N = 1000010;
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int n, p; // n个小朋友，模p
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LL f[N]; // DP数组，前序最大子段和
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int main() {
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cin >> n >> p; // n个小朋友，模p
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LL s = 0, mx = -1e18;
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for (int i = 1; i <= n; i++) {
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int x;
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cin >> x;
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s = max(s, 0ll) + x; // 最大子段和的套路,如果能继承父亲的财产就继承，如果父亲只有债务，就不管
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mx = max(mx, s); // 到i为止可以获得的最大子段和
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f[i] = mx; // 保存到dp数组f[N]中
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}
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/*
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① 每个小朋友的特征值等于排在他前面（包括他本人）的小朋友中连续若干个
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（最少有一个）小朋友手上的数字之和的最大值。
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② 第一个小朋友的分数是他的特征值，
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其它小朋友的分数为排在他前面的所有小朋友中（不包括他本人），小朋友分数加上其特征值的最大值。
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*/
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LL res = f[1]; // 第一个小朋友的得分目前是大王
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LL score = f[1] * 2; // 第二个小朋友的得分 = 第一个小朋友的得分+第一个小朋友的特征值
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for (int i = 2; i <= n; i++) { // 从第二个小朋友开始，到最后一个小朋友枚举
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res = max(res, score); // res:记录最大分数
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if (f[i] > 0) score += f[i]; // 如果最大子段和大于0，可以接在后面
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}
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printf("%lld\n", res % p); // 对p取模输出
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return 0;
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}
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```
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上面的代码只能通过$10/12$,不能$AC$,因为会爆$long$ $long$,办法就是用$\_\_int128$
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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typedef __int128 LL;
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const int N = 1000010;
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int n, p;
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LL f[N];
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LL max(LL a, LL b) {
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if (a >= b) return a;
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return b;
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}
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int main() {
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cin >> n >> p;
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LL s = 0, mx = -1e36;
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for (int i = 1; i <= n; i++) {
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int x;
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cin >> x;
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s = max(s, 0) + x;
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mx = max(mx, s);
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f[i] = mx;
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}
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LL res = f[1], score = f[1] * 2;
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for (int i = 2; i <= n; i++) {
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res = max(res, score);
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if (f[i] > 0) score += f[i];
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||
}
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||
printf("%lld\n", res % p);
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return 0;
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}
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``` |