python/TangDou/CSP-J/J2_2020/4.md

本题与一般的方格取数同：一般的方格取数只能 向右或向下走，在$DP$的循环中，下一次循环更新的状态不会影响先前的状态，也就是说某一行某一列更新完就已经取到最优解，这叫作:无后效性。

本题可以 向上走 破坏了规则,如果还用$f[i][j]$去描述状态，就会发生状态之间冲突依赖的情况发生，那么怎么样才能做到状态清晰呢？

答：多开一个状态!

状态表示 0:从左面过来，$1$：从上面过来，$2$：从下面过来

状态转移 从左面过来： f[i][j][0] = max({f[i][j - 1][1], f[i][j - 1][0], f[i][j - 1][2]}) + a[i][j]

从上面过来： f[i][j][1] = max(f[i - 1][j][0], f[i - 1][j][1]) + a[i][j]

从下面过来： f[i][j][2] = max(f[i + 1][j][0], f[i + 1][j][2]) + a[i][j]

初始化 由于是求 最大值，先对整个dp[N][N][3] 数组赋 long long 下的极小值: -1e18

初始化起点 (1,1) 这个点显然不能从$(2,1)$向上走一格到达，因为起点就是(1,1), 一开始就被到达了。

因此在$f[N][N][3]$数组全为极小值的情况下 单独对 f[1][1][0] = w[1][1] ,f[1][1][1] = a[1][1];

其中$w[N][N]$数组是 每个点的权值

填表顺序 Q1:起点的初始化是什么意思？ 答：起点,可以是从地图的左侧边缘进入的:f[1][1][0]=a[1][1]，或者是从地图的上侧边缘进入的:f[1][1][1]=a[1][1]，没法从下面来，不写f[1][1][2]。

Q2:为什么要初始化第一列呢？ 答：你想啊，如果按传统的办法，按行进行枚举填表，就会有问题：格子中的数据，是可以来自于它下方格子的！ 也就是说，当你由上到下填充完某个格子后，当运行到下一行这个列时，

还会尝试更新刚才已经完成填充的格子数据！这在动态规划的算法中是非常忌讳的概念，被称为“有后效性”，

这样按行填表，会造成循环依赖修改，无法完成任务。

那怎么办才对呢？那是不是就没法整了呢？当然不是！ 我们观察到一个事实：任何一个格子，只能从上、下、左三个方向更新数据，不能从右边过来，是吧？也就是说，

如果我们按列进行枚举，当某一列填充完数据后，再走到后面的列时，不能向左更新已填充完的数据，这样就做到了无后序性！

总结：枚举顺序不是非得按行，有时可以按列。具体是按行还是按列，是看哪种方式“无后效性”。

(3) Q3:为什么第一列要用由上到下的顺序进行初始化呢？ 答：因为现在从第一列的现实情况考虑，我们也只能是由上到下去更新，从下到上没有了递推的起点初始值，没法递推。

整体递推的顺序： ① 左上下 或 ②左下上 Q:为什么一定要是左上下 或者 左下上呢？不能是 上下左，上左下等顺序吗？

答：不可以！因为你费了半天劲，整理出来的第一列，不是开玩笑！你后序的填充都要依赖第一列，也就是要先计算从左侧 转移过来， 才能利用上左侧的资源！

时间复杂度 由于需要计算每个点的三个状态 时间复杂度为 O(n\times m \times 3) 也就是 O(nm)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1010;
const int INF = 1e18;

LL f[N][N][3]; // 0:左，1：上，2：下
LL a[N][N];
int n, m;

int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            cin >> a[i][j];
            f[i][j][0] = f[i][j][1] = f[i][j][2] = -INF; // 因为题目中数字有负数，不能简单初始化为0，初始化为-INF,方便求最大值
        }

    // 初始化
    f[1][1][0] = a[1][1], f[1][1][1] = a[1][1];                         // ① 起点初始化
    for (int i = 2; i <= n; i++) f[i][1][1] = f[i - 1][1][1] + a[i][1]; // ② 从上向下初始化第一列

    // 开始循环填表
    for (int j = 2; j <= m; j++) {   // 从第二列开始
        for (int i = 1; i <= n; i++) // 来源于左格子,左格子的来源随意
            f[i][j][0] = max({f[i][j - 1][1], f[i][j - 1][0], f[i][j - 1][2]}) + a[i][j];

        for (int i = 2; i <= n; i++) // 来源于上格子,上格子的来源可以是左+上,注意特判，不要出界依赖
            f[i][j][1] = max(f[i - 1][j][0], f[i - 1][j][1]) + a[i][j];

        for (int i = n - 1; i >= 1; i--) // 来源下格子,下格子的来源可以是左+下，注意特判，不要出界依赖
            f[i][j][2] = max(f[i + 1][j][0], f[i + 1][j][2]) + a[i][j];
    }

    // 输出PK后的最大值,终点格子的最大值，只能是从上面过来，或者，从左边过来，不可能从下面过来，下面是地图外了！
    cout << max(f[n][m][0], f[n][m][1]);
    return 0;
}