2.2 KiB
将\triangle AFD 旋转到ABF',因为\angle D=90^{\circ},所以$F',B,E,C$共线。
因为是旋转得到\triangle AF'B,所以\triangle AF'B \cong ADF
所以DF=BF',\angle DAF=\angle BAF'
双因为\angle BAE +\angle FAD=45^{\circ}
所以\angle F'AB+\angle BAE=\angle F'AE=45^{\circ}
AF'=AF,\angle F'AE=\angle EAF,AE=AE 根据$ASA$，所以\triangle F'AE \cong \triangle EAF ①证毕
BE+DF=BE+BF' 旋转得到
BE+BF'=EF ②证毕
EF=EF'=BE+BF'=BE+FD
\therefore C_{\triangle CEF}=CE+CF+EF=CE+CF+BE+FD=BC+CD=2AB ③证毕
因为\triangle AF'E \cong \triangle AEF
\therefore \angle 1=\angle 2
\therefore \triangle BAE \cong EAH ⑥证毕
\therefore \angle 3=\angle 4
因此$AE$是$\angle BAH$平分线，④证毕
求证：\angle 5=\angle 7
\because \angle 4+\angle 5=45^{\circ}
\because \angle 3=\angle 4
\therefore \angle 3+ \angle 5=45^{\circ}
\because \angle 7 + \angle 3=90^{\circ}-\angle EAF=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}
\therefore \angle 5=\angle 7
所以,$AF$是$\angle HAD$平分线，⑤证毕
\therefore \triangle ADF \cong \triangle AHF
⑦ 证毕
求证:$MA=MF$
因为\angle 1=\angle 2 已经证明的全等三角形
\angle 1=\angle 8 平行边内错角相等
\therefore \angle 2=\angle 8
$\triangle ANE$是等腰三角形，AN=NE ⑨ 证毕
\because \triangle AHF \cong \triangle ADF
\therefore \angle HFA=\angle 9
\because \angle 9=\angle MAF 平行线内错角相等
\therefore \angle HFA=\angle MAF
所以$\triangle MAF$是一个等腰三角形
\therefore MF=MA ⑧证比
⑩ 一看就是 $12345$模型了，因为tan \alpha=\frac{1}{2},\alpha+\beta=45^{\circ}
\therefore tan \beta=\frac{1}{3}
证毕,忘记怎么证明的时候，回去复习一下 $12345$模型即可。