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(11) 四点共圆的条件是：圆内接四边形的对角互补
\because \angle ABE=\angle AHE=90^{\circ}
$\therefore ABEH$四点共圆
(12) 同理：\because \angle AHF= \angle ADF=90^{\circ}
$\therefore AHFD$四点共圆
(13) 很明显$QD$与$BS$不在同一个三角形中，不太好直接证明两者间的关系，我们采用的办法是旋转法，将$\triangle AQD$旋转到$AQ'B$的形式上。
因为是旋转，所以BQ'=QD,问题得到转化。
下面来研究一下$Q'B^2+BS^2=QS^2$吗？
根据以前的证明经验，我们知道\triangle Q'SA \cong \triangle ASQ (SAS)
\therefore Q'S=QS
问题也就转化为让我们证明\angle Q'BS=90^{\circ}
\angle Q'BS=\angle ABQ'+\angle ABS=\angle ADQ+\angle ABS=45^{\circ}+45^{\circ}=90^{\circ}
证毕
(14)性质：共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等
\angle DBC=\angle EAF=45^{\circ}
所以$EBAQ$四点共圆,证毕
(15) 同14,有\angle EAF=\angle BDC=45^{\circ}
所以$ADFS$四点共圆
(16) 利用上面$ABEQ$四点共圆的结论，所以弧$AQ$的两个对应角\angle ABD=\angle AEQ=45^{\circ}
而且已知\angle EAF=45^{\circ}
\therefore \angle AQE=90^{\circ}
$\therefore \triangle AEQ$是等腰直角三角形
证毕
(17) 根据上面的结论$ASFD$四点共圆,弧$AS$对的两个角\angle ADS=\angle AFS=45^{\circ}
$\therefore \triangle ASF$是等腰直角三角形
证毕
(18,$19$)因为有上面$16,17$的结论，所以$\sqrt{2}$倍的结论也是正确的
(20)
视频证明
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