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- $A$是定点，而$M,N$是动点，一个定点两个动点。
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- 原来的模型$1，2，3$都是求的两个线段的线段和最小值，现在是求三条线段的线段和最小值。
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#### 辅助线
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- 找到$A$关于$BC$的对称点$A_1$,因为$\angle ABC=90^{\circ}$,所以$A,B,A_1$三点共线,同理，作出,$A$关于$EN$的对称点$A_2$,则$A,E,A_2$三点共线。
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经过上面的引入辅助线，$AM+MN+AN$就转化为$A_1M+MN+NA_2$,我们可以很容易得到结论：当$A_1,A_2,M,N$在一条直线上时，$AM+MN+AN$最短。
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那么$A_1A_2$的长度是多少呢？它不在任何一个直角三角形中，不好求。只好构建一个直角三角形，由$A_1$向$AE$引一条垂线$AH$，因为$\angle A_1AA_2=120^{\circ}$,所以$\angle A_1AH=60^{\circ}$,因为$\angle A_1H=90^{\angle}$,所以$\angle AA_1H=30^{\circ}$
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$AB=A_1B=2$,所以 $A_1A=4 \Rightarrow AH=2$
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$\therefore A_1H=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$
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$A_1A_2=\sqrt{10^2+12}=4\sqrt{7}$
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**思考题**：似乎题目中给出的$AB=BC,AE=ED$并没有使用得上。从上面的解题过程来看，似乎$C,D$也是可以向上移动的，并不影响最终的四点共线，也就是说:这两个条件真的没用。
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**总结**
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- 求三角形的周长最小值，需要转化为求两点之间线段最短，是哪两个点呢？可以考虑使用两次将军饮马，作两个对称的点。
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- 计算长度，一般只能是给出特殊角度，特殊角度也只能是在直角三角形中求解才行。引导我们想办法构建一个直角三角形解决问题。 |