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##[$AcWing$ $4$. 多重背包问题 I](https://www.acwing.com/problem/content/description/4/)
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### 一、题目描述
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有 $N$ 种物品和一个容量是 $V$ 的背包。
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第 $i$ 种物品最多有 $s_i$ 件，每件体积是 $v_i$，价值是 $w_i$。
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求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。输出**最大价值**。
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**输入格式**
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第一行两个整数，$N，V$，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。
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接下来有 $N$ 行，每行三个整数 $v_i,w_i,s_i$，用空格隔开，分别表示第 $i$ 种物品的体积、价值和数量。
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**输出格式**
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输出一个整数，表示最大价值。
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**数据范围**
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$0<N,V≤100$
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$0<v_i,w_i,s_i≤100$
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**输入样例**
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```cpp {.line-numbers}
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4 5
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1 2 3
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2 4 1
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3 4 3
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4 5 2
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```
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**输出样例**：
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```cpp {.line-numbers}
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10
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```
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### 二、分析过程
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<center><img src='https://cdn.acwing.com/media/article/image/2021/06/17/55909_ba412471cf-IMG_4AD8EC65CFE1-1.jpeg'></center>
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* **状态表示**
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集合：所有只从前$i$个物品中选，并且总体积不超过$j$的选法
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属性：集合中每一个选法对应的总价值的最大值
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* **状态计算**
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就是一个集合划分的过程，就是和完全背包很像，但不像完全背包有无穷多个，而是有数量限制
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* 初始状态：`f[0][0]`
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* 目标状态：`f[n][m]`
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#### 状态转移方程
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$$\large f[i][j] = max\{(f[i-1][j − k*v[i]] + k*w[i]) | 0 ≤ k ≤ s[i],j>=k*v[i]\}$$
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### 三、实现代码（二维数组）
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 110;
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int n, m;
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int f[N][N];
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int main() {
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cin >> n >> m;
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for (int i = 1; i <= n; i++) { // 讨论每个物品
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int w, v, s;
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cin >> v >> w >> s;
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for (int j = 0; j <= m; j++) // 讨论每个剩余的体积
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for (int k = 0; k <= s && v * k <= j; k++) // 讨论加入的个数
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f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v] + w * k);
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}
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printf("%d\n", f[n][m]);
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return 0;
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}
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```
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### 四、实现代码（一维数组)
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 110;
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int n, m;
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int f[N];
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int main() {
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cin >> n >> m;
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for (int i = 1; i <= n; i++) {
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int v, w, s;
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cin >> v >> w >> s;
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for (int j = m; j >= v; j--)
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for (int k = 0; k <= s && k * v <= j; k++)
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f[j] = max(f[j], f[j - v * k] + w * k);
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}
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printf("%d\n", f[m]);
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return 0;
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}
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```
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