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##[$AcWing$ $240$. 食物链](https://www.acwing.com/problem/content/description/242/)
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### 一、题目描述
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动物王国中有三类动物 $A,B,C$，这三类动物的食物链构成了有趣的环形。
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$A$ 吃 $B$，$B$ 吃 $C$，$C$ 吃 $A$。
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现有 $N$ 个动物，以 $1∼N$ 编号。
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每个动物都是 $A,B,C$ 中的一种，但是我们并不知道它到底是哪一种。
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有人用两种说法对这 $N$
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个动物所构成的食物链关系进行描述：
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第一种说法是 `1 X Y`，表示 $X$ 和 $Y$ 是同类。
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第二种说法是 `2 X Y`，表示 $X$ 吃 $Y$。
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此人对 $N$ 个动物，用上述两种说法，一句接一句地说出 $K$ 句话，这 $K$ 句话有的是真的，有的是假的。
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当一句话满足下列三条之一时，这句话就是假话，否则就是真话。
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当前的话与前面的某些真的话冲突，就是假话；
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当前的话中 $X$ 或 $Y$ 比 $N$ 大，就是假话；
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当前的话表示 $X$ 吃 $X$，就是假话。
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你的任务是根据给定的 $N$ 和 $K$ 句话，输出假话的总数。
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**输入格式**
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第一行是两个整数 $N$ 和 $K$，以一个空格分隔。
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以下 $K$ 行每行是三个正整数 $D$，$X$，$Y$，两数之间用一个空格隔开，其中 $D$ 表示说法的种类。
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若 $D=1$，则表示 $X$ 和 $Y$ 是同类。
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若 $D=2$，则表示 $X$ 吃 $Y$。
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**输出格式**
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只有一个整数，表示假话的数目。
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**数据范围**
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$1≤N≤50000$,$0≤K≤100000$
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**输入样例：**
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```cpp {.line-numbers}
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100 7
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1 101 1
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2 1 2
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2 2 3
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2 3 3
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1 1 3
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2 3 1
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1 5 5
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```
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**输出样例：**
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```cpp {.line-numbers}
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3
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```
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本题目是一道非常好的并查集练习题，有两种并查集的解法，分别是扩展域并查集、带权并查集，下面分别进行介绍：
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### 二、扩展域并查集
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#### 1、三点认知
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* 两个同类元素的天敌集合是同一个集合，猎物集合也是同一个集合。
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* 天敌的天敌是猎物 (因为是 **食物环** 嘛)
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* 猎物的猎物是天敌 (因为是 **食物环** 嘛)
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#### 2、扩展域思想
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$1\sim n$个元素扩大为$1\sim 3n$个元素，使用$[1 \sim 3n]$个并查集（每一个并查集中的所有元素都具有同一种特性，不同并查集中不存在相同元素）来维护$3n$元素彼此的关系。
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为了形象化思考问题，我们假设三种动物，互为食物链：老鼠、大象、狐狸
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关系为:
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- 狐狸 杀死 老鼠
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- 大象 拍死 狐狸
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- 老鼠 钻鼻子 大象
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在这里$x$元素，$x+n$元素，$x+2n$元素三者的关系被定义为：
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- $x$元素的$p[x]$代表$x$家族
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- $x+n$元素的$p[x+n]$代表$x$的天敌家族
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- $x+2n$元素的$p[x+2n]$代表$x$的猎物家族
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对于一句真话:
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- 当$x$,$y$是同类
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- 将他们的天敌集合（$x+n$与$y+n$所在集合）合并
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- 将猎物集合（$x+2n$元素与$y+2n$元素所在集合）合并
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- 将$x,y$所在的集合 合并
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- 当$x$是$y$的天敌
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- ① 将$x$家族与$y$的天敌家族合并
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- ② 将$y$家族和$x$的猎物家族合并
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- ③ 将$x$的天敌家族和$y$的猎物家族合并
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#### 3、实现代码
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 150010;
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int p[N];
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int ans;
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int find(int x) {
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if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
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return p[x];
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}
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void join(int x, int y) {
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int f1 = find(x), f2 = find(y);
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if (f1 != f2) p[f1] = f2;
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}
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int main() {
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int n, m;
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cin >> n >> m;
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for (int i = 1; i <= 3 * n; i++) p[i] = i; // 并查集初始化
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while (m--) {
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int x, y, t;
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cin >> t >> x >> y;
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// 说出大于n编号的动物，肯定是假话
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if (x > n || y > n) {
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ans++;
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continue;
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}
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if (t == 1) { // x和y同类
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if (find(x + n) == find(y) || find(x + 2 * n) == find(y)) {
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ans++;
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continue;
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}
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join(x, y);
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join(x + n, y + n);
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join(x + 2 * n, y + 2 * n);
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} else { // x吃y
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// +n 天敌，+2n 食物
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if (find(x) == find(y) || find(x + n) == find(y)) {
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ans++;
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||
continue;
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||
}
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join(x, y + n);
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join(x + n, y + 2 * n);
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||
join(x + 2 * n, y);
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}
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}
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printf("%d\n", ans);
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return 0;
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}
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```
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### 二、带权并查集
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**功能：查询祖先+修改父节点为祖先+更新节点到根的距离（通过到父节点的距离累加和）**
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$d[i]$的含义：第 $i$ 个节点到其父节点距离。
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#### C++ 代码
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 50010;
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const int M = 3;
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/**
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带权并查集：
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(1)不管是同类，还是吃与被吃的关系，都把它们放到同一个链中去
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(2)还没有关联关系的两条链,是两条彼此独立的链
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(3)同一个链中动物关系用距离根结点的长度来描述: 0:同类，1：吃, 2:被吃
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通过上面的记录关系，就可以推理出任何两个节点的关系
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*/
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int n, m;
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int p[N]; // 家族
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int d[N]; // i结点到父结点的距离
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int res; // 假话的个数
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// 带权并查集find模板
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// ① 需要将原始并查集的find模板一拆为二
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// ② 在拆分的两句话中间，增加更新到父节点距离的代码
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int find(int x) {
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if (p[x] != x) {
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int t = find(p[x]);
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d[x] = (d[p[x]] + d[x]) % M; // 父亲到根据的距离+自己到父亲的距离=自己到根的距离
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p[x] = t;
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}
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return p[x];
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}
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int main() {
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cin >> n >> m;
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// 并查集初始化
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for (int i = 1; i <= n; i++) p[i] = i;
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// m个条件
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while (m--) {
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int t, x, y;
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cin >> t >> x >> y;
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// 如果出现x,y的序号，大于最大号，那么肯定是有问题，是假话
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if (x > n || y > n) {
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res++;
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continue;
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}
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// 祖先
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int px = find(x), py = find(y);
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if (t == 1) { // x,y同类
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if (px != py) { // 没有处理过 x,y的关系
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p[px] = py; // 记录x,y的关系，把两个链合并一下，px认py为家族族长
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d[px] = (d[y] - d[x] + M) % M; // x,y是同类，则d[px] + d[x]= 0 + d[y]
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} else if ((d[x] - d[y] + M) % M) // 在同一个家族中，x,y同类,则d[x]=d[y],即d[x]-d[y]=0,不等于0，假话
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res++;
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}
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if (t == 2) { // x吃y
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if (px != py) { // 没有处理过x,y的关系
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||
p[px] = py; // 记录x,y的关系，把两个链合并一下，px认py为家族族长
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||
d[px] = (d[y] + 1 - d[x] + M) % M; // x吃y,则d[px]+d[x]-1=d[y]
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||
} else if ((d[x] - d[y] - 1 + M) % M) // 在同一个家族中，x吃y,则d[x]-d[y]=1,即d[x]-d[y]-1=0，要是不等于0，假话
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||
res++;
|
||
}
|
||
}
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||
// 输出
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printf("%d\n", res);
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return 0;
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}
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```
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代码解释：
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