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2025-08-30 18:35:01 +08:00

欧拉图专题

一、历史背景

欧拉证明了这种走法是 不可能的。

首先能想到的证明方法是把走七座桥的走法都列出来，一个一个的试验，但七座桥的所有走法共用$7！=5040种$，逐一试验将是很大的工作量。欧拉作为数学家，当然没那样想。欧拉把两座岛和河两岸抽象成顶点，每一座桥抽象成连接顶点的一条边，那么哥尼斯堡的七座桥就抽象成下面的图：

假设每座桥都恰好走过一次，那么对于$A、B、C、D$四个顶点中的每一个顶点，需要从某条边进入，同时从另一条边离开。进入和离开顶点的次数是相同的，即每个顶点有多少条进入的边，就有多少条出去的边，也就是说，每个顶点相连的边是成对出现的，即每个顶点的相连边的数量必须是偶数。

而上图中$A、C、D$四个顶点的相连边都是$3$，顶点$B$的相连边为$5$，都为奇数。因此，这个图无法从一个顶点出发，遍历每条边各一次。

二、相关的概念和定理

欧拉图、欧拉路径/回路

能够不重复地遍历完所有的边的路径——即一笔画的笔画，称为 欧拉路径
如果上述路径的起点与终点相同，则称为 欧拉回路
包含欧拉路径的图称为欧拉图

如下$gif$所示的图就是欧拉图，存在一个欧拉路径。

下图是一笔画成的串字，也就是说烧烤店门口挂的这个字可以用单条$LED$灯带做成。

那么柯尼斯堡七桥问题为什么不能 一笔画 呢？来看看欧拉提出的定理:

欧拉定理

欧拉同时考虑到了有向图与无向图的情况，因此要分别讨论。

无向图的情况 定理：

连通无向图$G$有欧拉路径的充要条件为：$G$中奇度顶点（即与其相连的边数目为奇数的顶点）有$0$个或者$2$个。

证明： 略

可知，柯尼斯堡七桥问题中的图有$4个$奇度顶点（$1$个度数为$5$，$3$个度数为$3$），所以不存在欧拉路径。

有向图的情况 定理：

底图连通的有向图$G$有欧拉路径的充要条件为： 1、$G$的所有顶点入度和出度都相等； 2、或者只有两个顶点的入度和出度不相等，且其中一个顶点的出度与入度之差为$1$，另一个顶点的入度与出度之差为$1$。

证明:略

欧拉定理介绍完了，那么如何找到具体的路径呢？

寻找欧拉路径/回路

① 判断图的连通性,非连通图是不存在欧拉路径/回路的。

判断图的连通性可以通过传统的$DFS$方法，也可以通过 并查集 实现，另外还有基于传递闭包的$Floyd$-$Warshall$算法（没错就是求最短路的那个），可以参考配置习题学习，不再赘述。

图的连通性判断办法

② 判断是否存在欧拉路径/回路如果图是连通的，我们再遍历每个顶点的度（有向图就是入度和出度），根据欧拉定理即可判断图中是否欧拉路径/回路。
- 连通 无向图 $G$有欧拉路径的充要条件为：$G$中奇度顶点（即与其相连的边数目为奇数的顶点）有$0$个或者$2$个。
- 底图连通的 有向图 $G$有欧拉路径的充要条件为：
  - $G$的所有顶点入度和出度都相等
  - 或者只有两个顶点的入度和出度不相等，且其中一个顶点的出度与入度之差为$1$，另一个顶点的入度与出度之差为1
③ 找出路径的起点和终点如果是欧拉路径的话，还能顺便找出路径的起点和终点。

三、题单

AcWing 1123. 铲雪车 【无向图、无需建图、欧拉回路、每一次都可以走不同的路线清雪，不会空车跑】

AcWing 1184. 欧拉回路 【无向图+有向图、稀疏图+链式前向星、找欧拉回路、变态级别的删边优化】

AcWing 1124. 骑马修栅栏 【无向图，稠密图+邻接矩阵、删边优化、记录节点，不是记录边、找欧拉路径起点、字典序=正序枚举+倒序输出】

AcWing 1185. 单词游戏 【有向图，根据入度和出度判断是否符合欧拉通路，再用并查集或$dfs$判连通性，$dfs$的话，注意删边优化，并查集不需要优化】

HDU 1878 无向图判定欧拉回路模板题 【无向图，不用建图，用并查集判连通性,根据入度和出度判断是否符合欧拉通路】

POJ 1300 Door Man 【无向图，判断欧拉回路、欧拉路径】

P1341 无序字母对 【邻接矩阵，无向图，删边，并查集判连通,$dfs$求欧拉路径】

POJ 1041 John′s $trip$ 【无向图,求边号字典序最小的欧拉回路,需要记录边号，按边号由小到大排序，正序输出；或者按边号由大到小排序，倒序输出,使用结构体进行自定义排序，然后再用链式前向星建图，这一点不如邻接表，邻接表可以直接排序，链式前向星不行，需要结构体辅助】

P7771 【模板】欧拉路径 【有向图，欧拉路径是否存在，删边，欧拉路径记录，字典序最小】

POJ 2337 $Catenyms$ 【有向图，欧拉路径是否存在，删边，记录欧拉路径，字典序最小】

POJ2230 $Watchcow$ 【无向图，欧拉路径】

P3520 [$POI2011$]$SMI$-$Garbage$ 【无向图，欧拉回路，多组, $dfs$找简单环,欧拉回路拆环】

HDU - 5883 The Best $Path$ 【异或和性质，欧拉通路，欧拉回路，点权与度数的关系】

POJ 2513 Colored $Sticks$ 【无向图欧拉路判定，字符串HASH,$Trie$树，并查集】

HDU 3018 Ant $Trip$ 【需要几笔画完，多个连通分量，奇数度节点个数>0:奇数度节点个数/$2?1$】

hihoCoder 1182 欧拉路·三 【兹鼓欧拉回路】

POJ 1392 Ouroboros $Snake$ 【兹鼓欧拉回路,$2$进制】

POJ 1780 $Code$ 【兹鼓欧拉回路,$10$进制,循环模拟dfs,手工栈】

`TODO` 三轮待刷

POJ1637 Sightseeing $tour$ 【网络流，此题已超过目前我的知识范围，暂不学习】

【题 3】CodeForces 36E - Two Paths 【题 4】CodeForces 209C - Trails and Glades 【题 5】洛谷 P5921 - [POI1999] 原始生物【题 6】CodeForces 547D - Mike and Fish 【题 7】洛谷 P6628 - [省选联考 2020 B 卷] 丁香之路 https://www.cnblogs.com/milmon/p/16586142.html

代码模板

// 记录边的dfs,要注意记录边和记录点的差别
void dfs(int u) {
    for (int i = h[u]; ~i; i = h[u]) {
        h[u] = ne[i];
        dfs(e[i]);
        res[++rl] = w[i];
    }
}

int getStart() {
    int st = 0, a = 0, b = 0, c = 0;
    for (int i = 0; i < 26; i++) {              // 枚举每个有效节点,每道题的具体实现可能有差异
        if (dout[i] != din[i]) a++;             // 出度与入度不一致的数量
        if (dout[i] == din[i] + 1) b++, st = i; // 起点数量，记录起点
        if (dout[i] == din[i] - 1) c++;         // 终点数量
    }
    if (a && (b != 1 || c != 1)) return -1; // 如果有不一致的，并且不是1个，则没有欧拉路径
    // 如果是一个环，也是存在欧拉路径的，但所有点的入度和出度一致，st不会被改写，需要再手找出起点。
    while (!dout[st]) st++;
    return st;
}

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