python/TangDou/AcWing/Floyd/854.md

AcWing 854. floyd 求最短路

一、题目描述

给定一个 n 个点 m 条边的有向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

再给定 k 个询问，每个询问包含两个整数 x 和 $y$，表示查询从点 x 到点 $y$的最短距离，如果路径不存在，则输出 impossible。

数据保证图中不存在负权回路。

输入格式 第一行包含三个整数 $n,m,k$。

接下来 m 行，每行包含三个整数 $x,y,z$，表示存在一条从点 x 到点 y 的有向边，边长为 $z$。

接下来 k 行，每行包含两个整数 $x,y$，表示询问点 x 到点 y 的最短距离。

输出格式 共 k 行，每行输出一个整数，表示询问的结果，若询问两点间不存在路径，则输出 impossible。

数据范围 1≤n≤200,1≤k≤n^2,1≤m≤20000, 图中涉及边长绝对值均不超过 $10000$。

输入样例：

3 3 2
1 2 1
2 3 2
1 3 1
2 1
1 3

输出样例：

impossible
1

二、理解和感悟

1. $Floyd$可以求多源最短路径，这是其它算法做不到的。

2. $Floyd$可以处理负权边，但不能处理负权回路。

3. 核心就是初始化+三重循环，注意顺序是$k-i-j$，不能反了！$Floyd$是有动态规划思想的算法。

原理解析： $f[k][i][j]$表示$i$和$j$之间可以通过编号为$1..k$的节点的最短路径 初值$f[0][i][j]$为原图的邻接矩阵

• $i$到$j$不经过$k$这个节点: $f[k][i][j]$可以从$f[k-1][i][j]$转移
• $i$到$j$经过$k$这个节点: 从$f[k-1][i][k]+f[k-1][k][j]$转移

即f[k][i][j]=min(f[k-1][i][j],f[k-1][i][k]+f[k-1][k][j])

然后你就会发现最外层一维空间可以省略，因为$f[k]$只$f[k-1]$与有关。

总结： 一句话，$Floyd$算法的本质是$DP$，而$k$是$DP$的阶段，因此要写最外面。

三、实现代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 210;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m, k;
int d[N][N];

// 算法结束后，d[a][b]表示a到b的最短距离
void floyd() {
    for (int k = 1; k <= n; k++)
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            for (int j = 1; j <= n; j++)
                d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
}

int main() {
    cin >> n >> m >> k;
    // floyd初始化
    memset(d, 0x3f, sizeof d);               // 任意两点间距离正无穷
    for (int i = 0; i < N; i++) d[i][i] = 0; // 自己和自己是距离为0的
    // 读入数据
    while (m--) {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        d[a][b] = min(d[a][b], c); // 保留最短边.(可能有重边，保留最短边)
    }
    // 调用floyd
    floyd();

    // 处理所有询问
    while (k--) {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        // 由于有负权边存在所以约大过INF/2也很合理
        if (d[a][b] > INF / 2)
            puts("impossible");
        else
            printf("%d\n", d[a][b]);
    }
    return 0;
}