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### [康托展开](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/17222367.html)
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官方简介：
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**康托展开** 是一个全排列到一个自然数的双射，常用于构建哈希表时的空间压缩。 康托展开的实质是计算当前排列在所有由小到大全排列中的顺序，因此是可逆的。
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**通俗简介**：
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- **康托展开** 可以求解一个排列的序号，比如：$12345$ 序号为 $1$ ，$12354$序号为$2$，按字典序增加编号递增，依次类推
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- **康托逆展开** 可以求解一个序号它对应的排列是什么
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**康托展开解释**：
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先给出康托展开的公式：
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$$\large X=a_n \cdot (n-1)!+a_{n-1}\cdot(n-2)!+...+a_1\cdot 0$$
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先对这个公式里变量进行解释，大家不理解这个公式没关系，慢慢往后看，很简单的。
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$a_i$的意思是从右往左数第 $i$ 位这个数是这个数前未出现的数，第$a_i$大。
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举个例子就明白这个公式了：
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<font color='red' size=4><b>注意：计算的时候 $12345$ 序列应视为第$0$个序列，后面会解释为什么。</b></font>
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拿$52413$举例子：
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- 首先看第一个数 $5$，不管第一位是什么数，后面都有四位数，那么这四位数全排列的方式有 $4！$ 种，而如果第一位是 $1$ 或 $2$ 或 $3$ 或 $4$ 都会比$5$开头的字典序要小，所以可以令$1，2，3，4$分别作为开头，这样的话就会有 $4 * 4！$种排法要比 $52413$ 这种排法的字典序要小。
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那么第一个数是$1，2，3，4$时候的字典序的个数数完了是 $4 * 4！$ 种，且这些字典序都要比$52413$的字典序要小。
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还有其他的排列方式比$52413$的字典序要小的吗？
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- 那么就可以固定第一位$5$，找下一位$2$，这时$5$已经用过了，所以从剩下的 $1，2，3，4$ 里挑选比$2$小的数，一共$1$个，后面还剩三位，也就是$3！$种排列方式，那么这时候比 $52413$ 字典序要小的又有 $1 * 3！$种，也就是当$5$在第一位，$1$在第二位的时候。
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- 再看第三位$4$，这时$5，2$都用了，所以从剩下的 $1，3，4$三个数中找比$4$小的数的个数，有两个比$4$小原理同上，所以这时候也可以有 $2 * 2!$种排列方式的字典序小于 $52413$
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- 再看第四位$1$，这时候会有 $0 * 1！$种
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- 再看第五位$3$，这时候会有$0 * 0！$种
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**综上所述**：
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对于序列： $52413$ 该序列展开后为： $4 * 4! + 1 * 3! + 2 * 2! + 0 * 1! + 0 * 0!$ ，计算结果是： $106$
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由于是从$0$开始计数的，所以最后 $52413$ 的编号为 $107$
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**$Q$:为什么从$0$开始计数？**
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可以这样看：我现在让你求$12345$的康托展开值，也就是：
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$$0*4！+ 0*3！+ 0*2！+ 0*1！+0*0！ = 0$$
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所以明白了吧~~
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康托公式最小字典序的编号就是$0$。
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#### 康托展开代码
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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// 阶乘表
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int fact[20];
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void init_fact(int n) {
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fact[0] = 1; // 0的阶乘为1
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for (int i = 1; i <= n; i++) fact[i] = fact[i - 1] * i;
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}
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// 康托展开
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int cantor(string str) {
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int x = 1; // 注意，因为 12345 是算作0开始计算的，最后结果要把12345看作是第一个
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int len = str.size();
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for (int i = 0; i < len; i++) {
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int smaller = 0; // 在当前位之后小于其的个数
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for (int j = i + 1; j < len; j++)
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if (str[i] > str[j]) smaller++;
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// 两种方法:
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// ① 往后看，计算str[i]是第几大的数，或者说计算有几个比他小的数
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// ② 往前看，计算出现了几个比自己小的数，从自己身上扣除掉逆序数量，也就是后面剩余比自己小的数量
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x += smaller * fact[len - i - 1]; // 乘上阶乘
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}
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return x;
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}
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int main() {
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// 初始化10以内的阶乘表
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init_fact(10);
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string str = "52413";
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// 康托展开
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cout << cantor(str) << endl;
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return 0;
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}
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```
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### 逆康托展开
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这里直接开栗子：
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如果初始序列是$12345$（第一个），让你求第$107$个序列是什么。（按字典序递增）
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这样计算：
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先把$107$减$1$，因为康托展开里的初始序列编号为$0$
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然后计算下后缀积：
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| | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ |
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| ----- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
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| $5！$ | $4!$ | $3!$ | $2!$ | $1!$ | $0!$ |
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| $120$ | $24$ | $6$ | $2$ | $1$ | $1$ |
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- $106 / 4! = 4 ······ 10$ 有$4$个比它小的所以因该是$5$ 从$（1，2，3，4，5）$里选
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- $10 / 3! = 1 ······ 4$ 有$1$个比它小的所以因该是$2$ 从$（1， 2， 3， 4）$里选
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- $4 / 2! = 2 ······ 0$ 有$2$个比它小的所以因该是$4$ 从$（1， 3， 4）$里选
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- $0 / 1! = 0 ······ 0$ 有$0$个比它小的所以因该是$1$ 从$（1，3）$里选
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- $0 / 0! = 0 ······ 0$ 有$0$个比它小的所以因该是$3$ 从$（3）$里选
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所以编号$107$的是 $52413$
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[$LetCoode$ $60$. 排列序列](https://leetcode.cn/problems/permutation-sequence/submissions/)
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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int fact[20];
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void init_fact(int n) {
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fact[0] = 1; // 0的阶乘为1
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for (int i = 1; i <= n; i++) fact[i] = fact[i - 1] * i;
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}
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string ans;
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// 逆康托展开
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void getPermutation(int n, int k) {
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vector<char> v; // 存放当前可选数，有序
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for (int i = 1; i <= n; i++) v.push_back(i + '0');
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k--; // 要先 -1 才是其康托展开的值
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for (int i = n; i; i--) {
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int r = k % fact[i - 1];
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int t = k / fact[i - 1];
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k = r;
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ans += v[t]; // 剩余数里第t+1个数为当前位
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v.erase(v.begin() + t); // 移除选做当前位的数
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}
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}
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int main() {
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int n = 5, k = 107; // 107
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init_fact(10); // 预处理阶乘
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getPermutation(n, k);
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cout << ans << endl;
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return 0;
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}
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``` |