72 lines
2.7 KiB
Markdown
72 lines
2.7 KiB
Markdown
https://blog.csdn.net/sleepiest/article/details/81865741
|
||
|
||
这个不看懂，没法看
|
||
https://www.luogu.com.cn/blog/blue/kuo-zhan-zhong-guo-sheng-yu-ding-li
|
||
|
||
### 1 导语
|
||
同余方程组，是形如
|
||
$$\large x \equiv x_1 (mod \ \ p_1 ) \\
|
||
\large x \equiv x_2 (mod \ \ p_2 ) \\
|
||
\large ... \\
|
||
\large x \equiv x_n (mod \ \ p_n )$$
|
||
的方程组。
|
||
|
||
当$\large p_1,p_2,...,p_n$两两互质的时候，我们可以使用中国剩余定理。但如果他们不互质呢？
|
||
|
||
### 2 裴蜀定理与扩展欧几里得算法
|
||
这里先介绍一下**裴蜀定理与扩展欧几里得算法**作为**铺垫**。
|
||
|
||
裴蜀定理：对于不完全为 的非负整数 ， 表示 的最大公约数。则必然存在整数对 ，使得
|
||
$$\large (a,b)=ax+by$$
|
||
具体证明略。
|
||
|
||
扩展欧几里得算法则是对这个方程求解的算法。
|
||
|
||
### 3 合并同余方程组
|
||
比如我们先合并前两个方程。
|
||
$$\large x \equiv x_1 (mod \ \ p_1 ) \\ \large x \equiv x_2 (mod \ \ p_2 )$$
|
||
|
||
根据余数的定义，我们可以将方程改写为
|
||
$$\large x=x_1 \times k_1 +p_1 \ \ (1) \\
|
||
x=x_2 \times k_2 +p_2 \ \ (2)
|
||
$$
|
||
合并$(1),(2)$得：
|
||
|
||
$$\large x_1*k_1-x_2*k_2=p_2-p_1 \ \ (3) $$
|
||
|
||
这是一个关于$k_1，k_2$的不定方程，当$\large (p_2—p_1)\% gcd(x_1，x_2)=0$时有解。
|
||
|
||
|
||
当有解时，用扩展欧几里得可求得 $k_{1}$ 的一个特解，设为 $k^{'}$ ，
|
||
那么 $k_{1}$ 的通解为：$\large k_{1} = k^{'}+ t * (x_{2} / gcd(x_{1},x_{2}))$
|
||
|
||
将 $k_{1}$ 代回到式$1$中可得：
|
||
$$\large x_1*(k^{'}+t*(x_2/gcd(x_1,x_2)))+p_1=x \\
|
||
\Rightarrow \\
|
||
\large x_1*x_2 /gcd(x_1,x_2)*t+x_1*k^{'}+p_1= x $$
|
||
|
||
可以发现：$\large x_{1} *x_{2} / gcd(x_{1},x_{2})$是$x_{1} ,x_{2}$ 的最小公倍数，可以转换表示为 $[x_{1}，x_{2}]$
|
||
|
||
$$\large [x_1,x_2]*t+x_1*k^{'}+p_1=x $$
|
||
|
||
所以合并式$(1)，(2)$两个同余组，变为：
|
||
$$\large x ≡ x_{1} * k^{'} + p_{1} (mod [x_{1}，x_{2}])$$
|
||
|
||
$\large x_{1}， p_{1}$ 都是已知的，只需求某个特解 $\large k^{'}$ 和 $\large [x_{1}，x_{2}]$ 即可。
|
||
|
||
### 4 举个栗子
|
||
$$ \large
|
||
\left\{\begin{matrix}
|
||
x \equiv 2(mod \ 4) \\
|
||
x \equiv 4(mod \ 6) \\
|
||
\end{matrix}\right. \Rightarrow x \equiv 10 (mod \ 12)
|
||
$$
|
||
|
||
|
||
由$(1)$式，手动模拟一些$x$,得：$6,$**10**$,14,18,$**22**$,26,30,$**34**$,38,42,$**46**$...$
|
||
|
||
由$(2)$式，手动模拟一些$x$,得：**10**$,16,$**22**$,28,$**34**$,40,$**46**$,...$
|
||
|
||
可以发现，这两个式子要想得到的公共解，其实是一组解，它们是：$\large 10,22,34,46,...$
|
||
|
||
找一下规律，就是从$\large 10$开始，循环节为$\large 12$，也就是原来两个模数$\large p_1,p_2$的$\large [p_1,p_2]$。 |