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1.4 KiB
C++
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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typedef long long LL;
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//扩展欧几里得
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LL exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y) {
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if (!b) {
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x = 1, y = 0;
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return a;
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}
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LL d = exgcd(b, a % b, y, x);
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y -= a / b * x;
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return d;
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}
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int main() {
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/* 原始方程 4x+6y=10 求x,y的一组解
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分析及求解步骤：
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此题中a=4,b=6,c=10
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1. 求d=gcd(a,b)=gcd(4,6)=2
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2. 判断 2|c即 10%2=0，方程有解，如果不能整除，此处可以直接返回方程无整数解
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3. 化简方程为 a/d*x+b/d*x=c/d 得到 4/2*x+6/2*y=10/2
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=> 2x+3y=5 此方程与原始方程解是一样的，我们最终对这个方程下手。
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4. 如可解此方程呢？我们有一个好用的定理：扩展欧几里得可以解类似的方程
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ax+by=gcd(a,b)!
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但问题是按扩欧的描述，我们现在能计算的是 2x+3y=1的方程解！！！
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不是原方程2x+3y=5的解!!
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该怎么办呢？
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设 x0,y0为2x+3y=1的解，那么原方程的一组解就是：
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x1=5*x0,y1=5*y0!!!!
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为什么呢？原因很简单： 2x+3y=1 左右都乘以5
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2*(x*5)+3*(y*5)=5
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对比一下原方程 x1=x0*5,y1=y0*5啊~
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*/
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LL x, y;
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exgcd(2, 3, x, y);
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printf("2x+3y=1 -> x=%lld y=%lld\n", x, y);
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printf("2x+3y=5 -> x=%lld y=%lld", 5 * x, 5 * y);
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return 0;
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} |