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##[$AcWing$ $143$. 最大异或对](https://www.acwing.com/problem/content/145/)
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### 一、题目描述
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在给定的 $N$ 个整数 $A_1，A_2……A_N$ 中选出两个进行 $xor$（异或）运算，得到的结果最大是多少？
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**输入格式**
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第一行输入一个整数 $N$。
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第二行输入 $N$ 个整数 $A_1～A_N$。
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**输出格式**
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输出一个整数表示答案。
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**数据范围**
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$1≤N≤10^5,0≤Ai<2^{31}$
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**输入样例：**
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```cpp {.line-numbers}
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3
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1 2 3
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```
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**输出样例：**
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```cpp {.line-numbers}
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3
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```
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### 二、分析思路
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先来思考暴力怎么做:
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``` c++
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// 最大异或对,用暴力是超时的
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// 通过了 6/10个数据
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#include<iostream>
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using namespace std;
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const int N=1e5+10;
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int a[N];
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int res;
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int main(){
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int n;
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cin>>n;
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for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
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for(int i=1;i<=n;i++)
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for(int j=i+1;j<=n;j++)
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res=max(res,a[i]^a[j]);
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cout<<res<<endl;
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return 0;
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}
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```
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结果不出意外，$TLE$,只能想办法进行优化
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#### $Trie$树思路
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1、将整数解析为二进制数，即有符号整数，$31$位，就是$0-30$，按$Trie$树进行存储, **整数的$Trie$树存储**。
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2、每个数字的每一个二进制位，需要从高位到低位，即`for(int i = 30; i >= 0; i--)`，想像一下你在构建一个$Trie$树，那么根$root$就是最高位，然后一路走到$31$位，就是最低位。
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3、每个数字想要找到与自己形成最大异或值的另一个数字，我们现在已经把它们保存到$Trie$树里了，那怎么找呢？什么样的两个数字才是最大异或值的对呢？就是每一位完全相反的就肯定是最大的异或对！那如果某一位相反的结点并不存在呢？这就是退而求其次的思路了，我们尽量从左到右找出与当前数字本位相反的路径，如果存在，就继续探索，如果不存在，那就使用一样的本位值。这样下来，到$31$位，就可以找到和自己匹配最大的异或值。
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#### 总结一下
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- $Trie$里可以用来保存数字，数字需要通过二进制（由高位到低位）进行保存。
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- 增加一个数字进来，其实就是增加了一个层级为$31$级的 **模拟字符串**
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- 放入一个数字，那么它肯定会在任意一级（共$31$级）存在一边，另一边可能存在，也可能不存在。
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### 三、实现代码
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 1e5 + 10;
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const int M = N * 31;
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int n, res;
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int a[N];
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int tr[M][2];
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int idx;
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// 构建数字二进制位的Trie树
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void insert(int x) {
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int p = 0;
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for (int i = 30; i >= 0; i--) {
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int u = (x >> i) & 1; // 取出当前位的值
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if (!tr[p][u]) tr[p][u] = ++idx; // 构建Trie树
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p = tr[p][u];
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}
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}
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// 所谓与x异或最大，就是利求在高位上尽量不一样，如果找不到不一样的，就只能找一样的，下一个继续优先找不一样的
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// 在Trie树中查找到与x异或最大的数
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int query(int x) {
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int p = 0, ans = 0;
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for (int i = 30; i >= 0; i--) {
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int u = (x >> i) & 1; // 取出x的当前二进制位
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if (tr[p][!u]) { // 如果存在可以异或的路可以走的话,尽量先走
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p = tr[p][!u];
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ans = ans * 2 + !u; // 还原二进制数字为十进制
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} else {
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p = tr[p][u]; // 否则只能走与自己本位一样的路线
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ans = ans * 2 + u; // 还原二进制数字为十进制
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}
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}
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return ans;
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}
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int main() {
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cin >> n;
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for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i], insert(a[i]);
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for (int i = 1; i <= n; i++) {
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int t = query(a[i]);
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res = max(res, a[i] ^ t);
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}
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printf("%d", res);
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return 0;
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}
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```
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### 五、对于一维数据范围的思考
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无论是模板题还是最大异或对着一题
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都有这么一行代码
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`if (!tr[p][u]) tr[p][u] = ++ idx; p = tr[p][u];`
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所以我们可以知道，$tr$数组的一维下标最大值的选取实际上是跟$idx$能够自增多少次来决定的
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**[$AcWing$ $835$. $Trie$字符串统计](https://www.acwing.com/problem/content/837/)** 中，输入的字符串总长度不超过 $10^5$，所以一维值选取$1e5+10$
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而在 **[$AcWing$ $143$. 最大异或对](https://www.acwing.com/problem/content/description/145/)** 中，数字需要以$2$进制进行表示，而每个数字最大为$2$的$31$次幂,所以一维下标应为数字的个数*$31$。
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