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$CSP-J2019$年初赛试题及详细解析

视频讲解

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一、单项选择题

（共15题，每题2分，共计30分；每题有且仅有一个正确选项）

1. 中国的国家顶级域名是（）

A. .cn B. .ch C. .chn D. .china

答案：A

考点：计算机基础-计算机网络-域名

解析：典型的国家顶级域名有 .cn （中国）、.us （美国）、$.uk$（英国）、.jp （日本）、.sg （新加坡）等。

典型的通用顶级域名有$.edu$（教育机构）、.gov （政府部门）、$.net$（网络组织）、.com （商业组织）、$.org$（非营机构）、.mil （军事部门）等。

2. 二进制数11 1011 1001 0111和01 0110 1110 1011进行逻辑与运算的结果 是（）。

  11 1011 1001 0111
 &01 0110 1110 1011
 ------------------
  01 0010 1000 0011  

答案：D

考点：计算机基础-数制与编码-二进制-位运算

解析：逐位进行与运算。对于每一位，$0$与$0$得0, $1$与$0$得0, $0$与$1$得0, 1 与$1$得$1$。

3. 一个32位整型变量占用（）个字节。

A. 32 B. 128 C. 4 D. 8

答案：C

考点：计算机基础-计算机体系结构-内存空间

解析：$8$位是$1$字节，因此$32$位是$4$字节。在$C++$语言中，$int$是最常用的带符 号$32$位整型变量，可表示数值：[$-2^{31},2^{31}-1$], unsigned $int$是最常用的无符号$32$位整型变量，可表示数值$[0, 2^{32}-1]$。

4. 若有如下程序段，其中s、a、b、c均已定义为整型变量，且a、c均已赋值（c 大于0）

s = a;
for （b = 1; b <= c; b++） s = s - 1;

则与上述程序段功能等价的赋值语句是（）

A. s = a - c; B. s = a - b; C. s = s - c; D. s = b - c;

答案：A

考点:程序设计基础$C++$语法基础-循环语句

解析：$s$初始化为a,紧接着$for$循环$c$次，每次$s$减1,因此该程序段相当于 $s=a-c$。

5. 设有$100$个己排好序的数据元素，采用折半查找时，最大比较次数为（）

A. 7~ B. 10 ~C. 6~ D. 8

答案:$A$

考点：程序设计基础-算法与数据结构-折半査找（二分査找）

解析：对$100$个有序元素进行折半查找，每次査找可将检索范围缩小一半。由 $2^6-1<100<2^7-1$可知，最大比较次数为$7$。

6. 链表不具有的特点是（）

A.插入删除不需要移动元素 B.不必事先估计存储空间

C.所需空间与线性表长度成正比 D.可随机访问任一元素

答案：D 考点：程序设计基础-算法与数据结构-链表

解析：链表是通过记录每个元素的后继位置来实现数据存储，所需空间与元素个数成正比，优点是不必事先估计存储空间、插入或删除指定位置元素的时间复杂度为O(1);但缺点是由于其元素的内存地址不连续，无法进行$O(1)$的随机访问。

7. 把$8$个同样的球放在$5$个同样的袋子里，允许有的袋子空着不放，问共冇多少种不同的分法？（）

提示：如果$8$个球都放在一个袋子里，无论是哪个袋子，都只算同一种分法

A. 22 ~ B. 24 ~ C. 18 ~ D. 20

答案：C

考点：数学-计数问题

解析：枚举法求解: $8$个同样的球

• 分$1$个袋子共$1$种方案
  • (8)
• 分$2$个袋子共$4$种方案
  • (1,7),$(2,6)$,$(3,5)$,$(4,4)$
• 分$3$个袋子共$5$种方案
  • (1,1,6),$(1,2,5)$,$(1,3,4)$,$(2,2,4)$,$(2,3,3)$
• 分$4$个袋子共$5$种方案
  • (1,1,1,5),$(1,1,2,4)$,$(1,1,3,3)$,$(1,2,2,3)$,$(2,2,2,2)$
• 分$5$个袋子共$3$种方案
  • (1,1,1,1,4),$(1,1,1,2,3)$,$(1,1,2,2,2)$

合计$1+4+5+5+3=18$种。

总结：

• 枚举法需要查找递增的序列
• 枚举法有类似于进位的概念，需要特别注意
• 枚举法要注意去重

枚举法计数需要重点训练！

8、一棵二叉树如右图所示，若采用顺序存储结构，即用一维数组元素存储该二叉树中的结点（根结点的下标为1,若某结点的下标为i ,则其左孩子位于下标$2i$处、右孩子位于下标$2i + 1$处），则该数组的最大下标至少为（ ）。

A. 6 ~B. 10 ~C. 15~ D. 12

答案：C

考点：程序设计基础-算法与数据结构-树结构

解析：根据题目给定的规则可知，下标最大的结点为树中深度最大且最靠右的结点,其下标为$2^0+2^1+2^2+2^3=1+2+4+8=15$。

9. $100$以内最大的素数是（ ）。

A. 89~ B. 97~ C. 91~ D. 93

答案：B

考点：数学-素数与合数

解析：$98 - 100$均为合数，$97$为素数。

10.$319$和$377$的最大公约数是（ ）。

A. 27 ~B. 33~ C. 29~ D. 31

答案：C

考点：数学-公约数与公倍数

解析：使用辗转相除法可得 $gcd(319, 377) =gcd(319, 58) =gcd(58, 29)=29$。或将 两数分解质因数后，提取公共部分亦可求解。

11. 新学期开学了，小胖想减肥，健身教练给小胖制定了两个训练方案。

方案一：每次连续跑$3$公里可以消耗$300$千卡（耗时半小时）： 方案二：每次连续跑$5$公里可以消耗$600$千卡（耗时$1$小时）。

小胖每周周一到周四能抽出半小时跑步，周五到周日能抽出一小时跑步。另外，教练建议小胖每周最多跑$21$公里，否则会损伤膝盖。请问如果小胖想严格执行教练的训练方案，并且不想损伤膝盖，每周最多通过跑步消耗多少千卡？（ ）

A. 3000 ~B. 2500 ~C. 2400 ~D. 2520

答案：C

考点：程序设计基础-算法与数据结构-枚举算法

解析：设方案$1$执行$x$天，方案$2$执行$y$天，则有3x+5y<=21 x<=4, $y<=3$。要求$300x+600y$的最大值，枚举可得最优方案为x=2、y=3,此时$300x+600y$为 $2400$。或使用线性规划亦可求解。

贪心：在$y$尽量大的情况下去尝试，应该价值最大。

$y=3$时，x=2,此时300x+600y=300*2+600*3=2400

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12. 一副纸牌除掉大小王有$52$张牌，四种花色，每种花色$13$张。假设从这$52$张 牌中随机抽取$13$张纸牌，则至少（ ）张牌的花色一致。

A. 4 ~B. 2 ~C. 3~ D. 5

答案:$A$

考点：数学-抽屉原理

解析：最坏情况，$13$张牌对应四种花色的牌数为$3、3、3、4$。

尽量均匀分布，才能使得各个花色数量尽量一致，使最多的不太突出

13. 一些数字可以颠倒过来看，例如$0、1、8$颠倒过来还是本身，$6$颠倒过来是

$9$，$9$颠倒过来看还是$6$，其他数字颠倒过来都不构成数字。类似的，一些多位数也可以颠倒过来看，比如$106$颠倒过来是$901$。假设某个城市的车牌只由$5$位数字组成，每一位都可以取$0$到$9$。请问这个城市最多有多少个车牌倒过来恰好还是原来的车牌？（ ）

A. 60 ~B. 125~ C. 75 ~D. 100

答案：C

考点：数学-乘法原理

解析：前$2$位有$0、1、8、6、9$共$5$种选择，第$3$位只能放0、1、8,后$2$位由前$2$位决定，因此总方案数为$553=75$。

好题！不这样训练乘法原理，就不知道这东西怎么考查！

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14. 假设一棵二叉树的后序遍历序列为$DGJHEBIFCA$，中序遍历序列为$DBGEHJACIF$， 则其前序遍历序列为（ ）。

A. ABCDEFGIHJ B. ABDEGHJCFI C. ABDEGJHCFI D. ABDEGHJFIC

答案:$B$

解析：后序遍历的规则是左右根、中序遍历的规则是左根右，因此可知， $A$是树根、$DBGEHJ$是$A$左子树的中序遍历（对应后续遍历$DGJHEB$）、$CIF$是$A$右子树的中序遍历（对应后续遍历$IFC$）,递归画出对应的二叉树，再根据前序遍历规则根左右即可求出答案。

根据后序遍历和中序遍历求前序遍历，是高频考点，需要训练： 练习I 练习II 练习III 练习IV 已知前序后序为什么无法求出唯一中序

15. 以下哪个奖项是计算机科学领域的最高奖？（）

A.图灵奖 B.鲁班奖 C.诺贝尔奖 D.普利策奖

答案：A

考点：计算机基础-常识-重要人物

解析：图灵奖由美国计算机协会于$1966$年设立，其名称取自计算机科学之父图灵，专门奖励对计算机事业作出重要贡献的个人，被誉为“计算机界的诺贝尔奖” 。

二、阅读程序

考点：程序设计基础-算法与数据结构-字符串

概述：程序用于将字符串下标(如果从$1$开始编号，但$C++$语言中实际是从$0$开始编号)是$n$约数的对应小写字母转换为大写字母。

判断题

1) 输入的字符串只能由小写字母或大写字母组成。（ ）

答案：错

解析：输入的字符串也可以包含数字等其他字符。

2） 若将第8行的i = 1改为i = 0，程序运行时会发生错误。（ ）

答案：对

解析：若$i$可以为0,则第$9$行的if语句条件n % i == 0将发生运行时错误RE。

3） 若将第8行的i <= n改为i * i <= n，程序运行结果不会改变。（ ）

答案：错

解析：当第$8$行的循环条件为i<=n时，字符串的末尾字符会被程序加工，但若改为i*i<=n，字符串的末尾字符将不会被程序加工（除非字符串长度为1）。　注意是开根号，这不对，比如14位，质因子分解为2 \times 7,$7$这个质因子就是大于\sqrt{14},如果只枚举到\sqrt{14},就会有一个大因子没有遍历到。

4） 若输入的字符串全部由大写字母组成，那么输出的字符串就跟输入的字符串一样。（ ）

答案：对

解析：大写字母的$ASCII$编码值小于小写字母的。若输入的字符串全部由大写字母组成，则程序不会对其进行加工。

•选择题

5） 若输入的字符串长度为$18$，那么输入的字符串跟输出的字符串相比，至多有（ ）个字符不同。

A. 18 ~ B. 6 ~ C. 10 ~ D. 1

答案：B

解析：$18$的正约数共有$6$个，因此程序至多修改输入字符串中的$6$个字符，即输出字符串与输入字符串至多有$6$个字符不同。

6） 若输入的字符串长度为（ ），那么输入的字符串跟输出的字符串相比，至多有$36$个字符不同。

A. 36 ~ B. 100000~ C. 1~ D. 128

答案:$B$

解析：根据程序的作用可知，要使输出字符串和输入字符串之间至多有$36$个字符不同，$36$应当是字符串长度$n$的约数个数。本题选项中，仅有$100000$满足要求，将其分解质因数得100000=2^5*5^5,根据约数个数定理，得其的正约数共有$（5+1）*（5+1）=36$个。

程序二

假设输入的$n$和$m$都是正整数，$x$和$y$都是在$[1, n]$的范围内的整数，完成下面的判断题和单选题：

写在前面,方法总结

• 由于没有专门训练过阅读程序这样逆向思维的试题，导致阅读起来理解有困难，需要总结技巧。
• 不要上来就试图读懂整个代码的逻辑流程，应该从边界入手，从实例入手，从分支入手，去验证问题，不一定非得完整的把代码搞清楚它的原本含义。一般常见的例子举$3$行，比如：

1 2
2 3
3 4

• 数字一般从$1$开始，能简单就尽量简单。
• 不要指望一组模拟数据就能过掉所有问题，可能需要两组或以上

考点：程序设计基础-算法与数据结构-模拟算法 此题见17.xls的表格模拟测试数据解法。

程序三

满二叉树和完全二叉树

退化成链的二叉树

考点：程序设计基础-算法与数据结构-树结构

概述：程序可以视作根据二叉树的中序遍历(根左右)，构造一棵满足要求的树，并输出各结点深度与$b$值的加权和——要求二叉树的根结点 最小(min)，并递归要求左右子树的根结点最小(除非相应子树为空)。

判断题

1）如果$a$数组有重复的数字，则程序运行时会发生错误。（ ）

答案：错

解析:若$a$数组有重复数字，则程序在根据$a$数组递归构造符合要求的二叉树时，对于相同结点值，会优先考虑位于左侧的。

2）如果$b$数组全为0,则输出为$0$。（ ）

答案：对

解析：程序最终输出的是各结点深度与$b$值的 加权和，因此若$b$数组全为0,则加权和显然为$0$。

选择题

3） 当$n=100$时，最坏情况下，与第$12$行的比较运算执行的次数最接近的是（ ）。

A. 5000 B. 600 C. 6 D. 100

答案:$A$

解析：最坏情况下，程序所构造的二叉树的每个结点至多仅有一个子结点，此时, 程序将递归$100$层，其中第$i$层进行$100-i+1$次第$12$行的比较运算，总执行次数为 $100+99+98+…+ 1≈5000$。

4） 当$n=100$时，最好情况下，与第$12$行的比较运算执行的次数最接近的是（ ）。

A. 100 B. 6 C. 5000 D. 600

答案：D

解析：最佳情况下，程序构造二叉树时，对于每个结点会尽可能均分其左右子树。 定义根结点深度为$1$，则含$n=100$个结点的树的深度最小为logn≈7,此时每选定一层结点，程序都需要执行约$n$次的第$12$行的比较运算，因此总执行次数约为 $nlogn≈600$。

5） 当$n=10$时,若$b$数组满足，对任意$0 ≤ i < n$。都有$b[i] = i + 1$，那么输出最大为（ ）。

A. 386 B. 383 C. 384 D. 385

答案：D

解析； 构造数据[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]

会发现，这是一棵从左上到右下的链，深度为10

此时，要使输出的$ans$值尽可能大，程序所构造的二叉树的深度应尽可能的大。定义根结点深度为$1$，则含$10$个结点的二叉树的最大深度为$10$，因此ans 的最大值为 $11+22+33+…+1010=385$。

6） （$4$分）当$n=100$时，若$b$数组满足，对任意$0 ≤ i < n$，都有b[i]=1,那么输出最小为（ ）。

A. 582 B. 580 C. 579 D. 581

答案：B

解析：此时，要使输出的$ans$值尽可能小，程序应参照完全二叉树构造此树，其中深度为$1$的结点共$1$个，深度为$2$的结点共$2$个，深度为$3$的结点共$4$个…… 深度为$6$的结点共$32$个，剩余$37$个结点的深度为$7$，因此$ans$的最小值为$（11+22+34+…+632）+7*37=580$。

三、完善程序（单选题，每题3分，共计30分）

视频讲解

程序一

考点：程序设计基础-算法与数据结构-分治算法

概述：程序釆用分治算法，递归模拟矩阵的变换过程。递归函数recursive(x, y, n, t)表示计算左上角(x, y),大小$2^n*2^n$由单个数字$t$变幻而来的矩阵。

1. ①处应填（ ）

A. n \% 2 B. 0 C. t D. 1

答案:$C$

解析：此处为递归边界，当需要计算的是单位矩阵时，相应元素应赋值为t,即无需再经任何变换。

2）②处应填（ ）

A. x – step , y – step B. x，y - step C. x – step , y D. x, y

答案：D

解析：左上角（x,y）,且大小$2^n2^n$的矩阵，可以分成$4$个$2^n-12^n-1$的矩阵分别计算。此处需要计算的是$4$个矩阵中位于左上方的矩阵，该矩阵的左上角坐标为$(x, y)$。

3）③处应填（ ）

A. x - step, y - step B. x + step, y + step C. x - step, y D. x, y – step

答案：B

解析：左上角（x,y）,且大小$2^n2^n$的矩阵，可以分成$4$个$2^n-12^n-1$的矩阵分别计算。此处需要计算的是$4$个矩阵中位于右下方的矩阵，该矩阵的左上角坐标为 $（x+2^n-1, y+2^n-1）$。

4） ④处应填（）

A. n - 1, n % 2 B. n, 0

C. n, n % 2 D. n - 1, 0

答案：B

解析：此处是递归计算的入口，即题目最终所求的是大小2^n*2^n,由单个数字$0$变幻而来的矩阵，因此递归函数的后两个参数应设为$n$和$0$。

5）⑤处应填（）

A. 1 << (n + 1) B. 1 << n C. n + 1 D. 1 << （n - 1）

答案：B

解析：此处是计算最终所求的矩阵大小，即边长$size$为2^n,位运算写做 1<<n

程序二

考点：程序设计基础-算法与数据结构-排序算法

解析：基于计数排序，程序实际实现了近似于基数排序的算法——依次以低位到高位的每一位数为关键词，进行计数排序，前一次的排序结果是下一次的初始序列——本题对应着先根据第二关键词$b$进行计数排序，再根据第一关键词$a$进行计数排序。

1. ①处应填()

A. ++cnt[i] B. ++cnt[b[i]] C. ++cnt[a[i] * maxs + b[i]] D. ++cnt[a[i]]

答案：B

解析：此处是根据第二关键词$b$进行计数排序，并做各关键词的数量统计工作， 因此将$b[i]$对应的元素数量自增$1$。

2） ②处应填（）

A. ord[--cnt[a[i]]] = i B. ord[--cnt[b[i]]] = a[i] C. ord[--cnt[a[i]]] = b[i] D. ord[--cnt[b[i]]] = i

答案：D

解析:此处是根据第二关键词$b$进行计数排序，并记录排序结果。此时的ent[key] 用于表示关键词为$key$的元素在结果数组中的位置，因此这里的程序应将关键词为$b[i]$的元素$i$放在$ord$数组里。

3） ③处应填（）

A. ++cnt[b[i]] B. ++cnt[a[i] * maxs + b[i]] C. ++cnt[a[i]] D. ++cnt [i]

答案:$C$

解析：此处是根据第一关键词$a$进行计数排序，并做各关键词的数量统计工作， 因此将$a[i]$对应的元素数量自增$1$。

4） ④处应填（）

A. res[--cnt[a[ord[i]]]] = ord[i] B. res[--cnt[b[ord[i]]]] = ord[i] C. res[--cnt[b[i]]] = ord[i] D. res[--cnt[a[i]]] = ord[i]

答案：A

解析：此处是根据第一关键词$a$进行计数排序，并记录排序结果。由于此前已经根据第二关键词$b$进行计数排序，此时第$i$个元素的原始下标实际为ord[i], 因此这里的程序应将关键词为$a[ord[i]]$的元素$ord[i]$放在$res$数组里。

5） ⑤处应填（）

A. a[i], b[i] B. a[res[i]], b[res[i]] C. a[ord[res[i]]] , b[ord[res[i]]] D. a[res[ord[i]]] , b[res[ord[i]]]

答案：B

解析：此处是按顺序输出排序结果。由于此前已经按照第二关键词、第一关键词完成了计数排序，此时第$i$个元素的原始下标实际为$res[i]$。

C++实现排序算法之基数排序