658 B
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裴蜀定理(贝祖定理)
定理 $ax+by=c,x∈Z^+,y∈Z^+$成立的充要条件是$gcd(a,b)|c$。
证明
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充分性 设$s=gcd(a,b)$，显然$s|a$，并且
s|b因为x,y∈Z^+所以s|ax,s|by显然要使得之前的式子成立，则必须满足$c$是$a$和$b$的公约数的倍数。 -
必要性 又因为$x$和$y$是正整数 所以$c$必然是$a,b$最大公约数的倍数。
因此，证得该定理成立
说明 该定理完全可以推广到若干数的线性组合
例题的话，请看这里：Luogu 4549 裴蜀定理/Min