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AC自动机详细讲解
$AC$自动机真是个好东西！之前学$KMP$被$Next$指针搞晕了，所以咕了许久都不敢开$AC$自动机，近期学完之后，发现$AC$自动机并不是很难，特别是对于$KMP$，个人感觉$AC$自动机比$KMP$要好理解一些，可能是因为我对树上的东西比较敏感（实际是因为我到现在都不会$KMP$）。
很多人都说$AC$自动机是在$Trie$树上作$KMP$，我不否认这一种观点，因为这确实是这样，不过对于刚开始学$AC$自动机的同学们就一些误导性的理解（至少对我是这样的）。$KMP$是建立在一个字符串上的，现在把$KMP$搬到了树上，不是很麻烦吗？实际上$AC$自动机只是有$KMP$的一种思想，实际上跟一个字符串的$KMP$有着很大的不同。
所以看这篇$blog$，请放下$KMP$，理解好$Trie$，再来学习。
前置技能
- $Trie$(很重要哦)
- $KMP$的思想（懂思想就可以了，不需要很熟练）
问题描述
给定$n$个模式串和$1$个文本串，求有多少个模式串在文本串里出现过。
注意:是出现过,就是出现多次只算一次。
默认这里每一个人都已经会了$Trie$。
我们将$n$个模式串建成一颗$Trie$树，建树的方式和建$Trie$完全一样。
假如我们现在有文本串$ABCDBC$。
我们用文本串在$Trie$上匹配，刚开始会经过$2、3、4$号点，发现到$4$，成功地匹配了一个模式串，然后就不能再继续匹配了，这时我们还要重新继续从根开始匹配吗？
不，这样的效率太慢了。这时我们就要借用$KMP$的思想，从$Trie$上的某个点继续开始匹配。
明显在这颗$Trie$上，我们可以继续从$7$号点开始匹配，然后匹配到$8$。
那么我们怎么确定从那个点开始匹配呢？我们称$i$匹配失败后继续从$j$开始匹配，$j$是$i$的$Fail$（失配指针）。
构建$Fail$指针
$Fail$的含义
$Fail$指针的实质含义是什么呢？
如果一个点$i$的$Fail$指针指向$j$。那么$root$到$j$的字符串是$root$到$i$的字符串的一个后缀。
举个例子：（例子来自上面的图)
i:4j:7$root$到$i$的字符串是ABC$root$到$j$的字符串是BC$BC$是$ABC$的一个后缀 所以$i$的$Fail$指针指向j
同时我们发现，$C$ 也是$ABC$的一个后缀。
所以$Fail$指针指的$j$的深度要尽量大。
重申一下$Fail$指针的含义：((最长的(当前字符串的后缀))在$Trie$上可以查找到)的末尾编号。
感觉读起来挺绕口的蛤。感性理解一下就好了，没什么卵用的。知道$Fail$有什么用就行了。
求Fail
首先我们可以确定，每一个点$i$的$Fail$指针指向的点的深度一定是比$i$小的。（$Fail$指的是后缀啊）
第一层的$Fail$一定指的是$root$。（比深度$1$还浅的只有$root$了）
设点$i$的父亲$fa$的$Fail$指针指的是$fafail$，那么如果$fafail$有和$i$值相同的儿子$j$，那么$i$的$Fail$就指向$j$。这里可能比较难理解一点，建议画图理解，不过等会转换成代码就很好理解了。
由于我们在处理$i$的情况必须要先处理好$fa$的情况，所以求$Fail$我们使用$BFS$来实现。
实现的一些细节
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1、刚开始我们不是要初始化第一层的$fail$指针为$root$，其实我们可以建一个虚节点$0$号节点，将$0$的所有儿子指向$root$（$root$编号为$1$，记得初始化)，然后$root$的$fail$指向$0$就$OK$了。效果是一样的。
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2、如果不存在一个节点$i$，那么我们可以将那个节点设为$fafail$的((值和$i$相同)的儿子)。保证存在性，就算是$0$也可以成功返回到根，因为$0$的所有儿子都是根。
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3、无论$fafail$存不存在和$i$值相同的儿子$j$，我们都可以将$i$的$fail$指向$j$。因为在处理$i$的时候$j$已经处理好了，如果出现这种情况，$j$的值是第$2$种情况，也是有实际值的，所以没有问题。
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4、实现时不记父亲，我们直接让父亲更新儿子
void bfs() {
int hh = 0, tt = -1; //将队列的头和尾变量写在这里，可以有效防止多组测试数据的初始化问题
for (int i = 0; i < 26; i++)
if (tr[0][i]) q[++tt] = tr[0][i];
while (hh <= tt) {
int p = q[hh++];
for (int i = 0; i < 26; i++) {
int t = tr[p][i]; // p状态，通过i这条边，到达的新状态t; 也可以理解为是前缀
if (!t)
tr[p][i] = tr[ne[p]][i]; //节点 指向父节点失配指针的i这条边
else {
ne[t] = tr[ne[p]][i]; //失配指针指向父节点失配指针的i这条边
q[++tt] = t; //存在的要入队列
}
}
}
}
查询
求出了$Fail$指针，查询就变得十分简单了。
为了避免重复计算，我们每经过一个点就打个标记为$-1$，下一次经过就不重复计算了。
同时，如果一个字符串匹配成功，那么他的$Fail$也肯定可以匹配成功（后缀嘛），于是我们就把$Fail$再统计答案，同样，$Fail$的$Fail$也可以匹配成功，以此类推……经过的点累加$flag$，标记为$-1$。
最后主要还是和$Trie$的查询是一样的。
int res = 0;
for (int i = 0, j = 0; s[i]; i++) {
j = tr[j][s[i] - 'a']; //从j点出发，经t这条边,重复利用变量j，不断的移动游标j
//沿着失配指针不断向上，累加匹配值
for (int p = j; p && ~cnt[p]; p = ne[p]) res += cnt[p], cnt[p] = -1;
}
实现代码
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1000010;
int n; // n个模式串
char s[N]; //模式串
char T[N]; //文本串
// Trie树
int tr[N][26], idx;
int cnt[N];
void insert(char *s, int x) {
int p = 0;
for (int i = 0; s[i]; i++) {
int t = s[i] - 'a';
if (!tr[p][t]) tr[p][t] = ++idx;
p = tr[p][t];
}
cnt[p]++; //以p为结束节点的字符串个数+1,如果有重复的，这里++也是OK的~
}
// AC自动机
int q[N], ne[N];
void bfs() {
int hh = 0, tt = -1;
for (int i = 0; i < 26; i++)
if (tr[0][i]) q[++tt] = tr[0][i];
while (hh <= tt) {
int p = q[hh++];
for (int i = 0; i < 26; i++) {
int t = tr[p][i]; //此处直接优化为Trie图，没有采用原始的while向上递归处理的办法，记忆这个版本即可
if (!t)
tr[p][i] = tr[ne[p]][i];
else {
ne[t] = tr[ne[p]][i];
q[++tt] = t;
}
}
}
}
//查询字符串s中 n个模式串出现了几个
int query(char *s) {
int p = 0;
int res = 0;
for (int i = 0; s[i]; i++) {
p = tr[p][s[i] - 'a'];
for (int j = p; j; j = ne[j]) {
if (cnt[j] == -1) break;
res += cnt[j];
cnt[j] = -1;
}
}
return res;
}
int main() {
//加快读入
ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
cin >> n;
//构建Trie树
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> s;
insert(s, i);
}
//构建AC自动机
bfs();
//输入文本串
cin >> T;
//输出模式串出现的个数（注意：不是次数，是个数）
printf("%d\n", query(T));
return 0;
}