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## [$P2345$ 奶牛集会](https://www.luogu.org/problemnew/show/P2345)
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### 一、题目描述
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约翰的$N$头奶牛每年都会参加 **哞哞大会**。哞哞大会是奶牛界的盛事。集会上的活动很多，比如堆干草，跨栅栏，摸牛仔的屁股等等。它们参加活动时会聚在一起，第$i$头奶牛的坐标为$X_i$，没有两头奶牛的坐标是相同的。奶牛们的叫声很大，第$i$头和第$j$头奶牛交流，会发出$max(V_i,V_j) × |X_i−X_j|$ 的音量，其中$V_i$ 和$V_j$ 分别是第$i$ 头和第$j$,头奶牛的听力。假设每对奶牛之间同时都在说话，请计算所有奶牛产生的音量之和是多少。
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$Input$
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第一行：单个整数$N$
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第二行到第$N+1$ 行：第$i+1$ 行有两个整数$V_i$和$X_i$。
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$Output$
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单个整数：表示所有奶牛产生的音量之和
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$Sample$ $Input$
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```cpp {.line-numbers}
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4
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3 1
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2 5
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2 6
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4 3
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```
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$Sample$ $Output$
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```cpp {.line-numbers}
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57
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```
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$Hint$
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所有数据≤ $20000$
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### 二、解题思路
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首先分析一下式子$max\{V_i,V_j\}×|X_i − X_j|$
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想办法化简公式，去掉原公式中的$max$和绝对值符号。
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1. 将每头奶牛按听力$V_i$由小到大进行排序，那么当走到第$i$头牛时，它与前$i-1$头牛的$\displaystyle \large \max_{j<i}(V_i,V_j)=V_i$,这样就成功去掉了最左侧的$max\{V_i,V_j\}$
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2. $|X_i − X_j|$这个分两种情况:
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- $X_i>X_j$,转换为$X_i-X_j$
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- $X_i<X_j$,转换为$X_j-X_i$
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3. $\large \displaystyle \sum max\{V_i,V_j\}×|X_i − X_j|$
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- 第$i$头牛的$v_i$ * (它之前牛的个数 * 它的坐标 - 它之前所有牛的坐标和)
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- 第$i$头牛的$v_i$ * (它之后所有牛的坐标和 - 它之后牛的个数 * 它的坐标）
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第$i$头牛和其他的牛发出的声音 = ① + ②
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对于牛在某个坐标区间内的个数和牛的坐标和，我们可以用两个树状数组来维护。
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### 三、$Code$
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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typedef long long LL;
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const int N = 20010;
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// 听力值v,坐标x
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// 结构体+第一维、第二维由小到大排序
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struct Node {
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int v, x;
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const bool operator<(const Node &t) const {
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if (v == t.v) return x < t.x;
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return v < t.v;
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}
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} a[N];
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// 树状数组模板
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int c1[N], c2[N];
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#define lowbit(x) (x & -x)
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void add(int c[], int x, int v) {
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while (x < N) c[x] += v, x += lowbit(x);
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}
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int sum(int c[], int x) {
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int res = 0;
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while (x) res += c[x], x -= lowbit(x);
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return res;
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}
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int main() {
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#ifndef ONLINE_JUDGE
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freopen("P2345.in", "r", stdin);
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#endif
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int n;
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scanf("%d", &n);
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for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d %d", &a[i].v, &a[i].x);
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sort(a + 1, a + n + 1); // 排序
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LL res = 0;
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for (int i = 1; i <= n; i++) {
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// c1:坐标和树状数组
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// c2:牛的个数
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LL s1 = sum(c1, a[i].x - 1); // a[i]进入树状数组时，它前面所有牛的坐标和
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LL s2 = sum(c1, 20000) - sum(c1, a[i].x); // a[i]进入树状数组时，它后面所有牛的坐标和
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LL cnt = sum(c2, a[i].x);
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/*
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cnt:它之前牛的个数
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i-1-cnt:它之后牛的个数
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a[i].x：它的坐标
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*/
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// 方法1：cout << "i=" << i << ",sum(c2,N)=" << sum(c2, N) << endl;
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res += a[i].v * (cnt * a[i].x - s1 + s2 - (sum(c2, N) - cnt) * a[i].x);
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// 方法2：
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// res += a[i].v * (cnt * a[i].x - s1 + s2 - (i - 1 - cnt) * a[i].x);
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add(c1, a[i].x, a[i].x); // 维护坐标前缀和
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add(c2, a[i].x, 1); // 维护个数前缀和
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}
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// 输出结果
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printf("%lld\n", res);
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return 0;
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}
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``` |