python/TangDou/AcWing/BeiBao/【总结】背包问题的至多_恰好_至少-主帖.md

原贴

一、学习过程总结

一开始学背包问题时遇到的大多数的状态表示是：从前$i$个物品中选，且总体积至多是$j$的问题。

慢慢地在提高课中，就有出现状态表示是：从前$i$个物品中选，且总体积恰好是$j$的问题。例如 AcWing 1023. 买书 ，求的是恰好是$j$的总方案数问题。

同时还出现了状态表示是：从前$i$个物品中选，且总体积至少是$j$的问题。例如 AcWing 1020. 潜水员 ，求的是总体积至少是$j$的最小价值。

二、求方案数初始化总结

二维情况

1. 体积至多$j$ 【$01$+完全】 f[0][i] = 1, $0 <= i <= m$，其余是0 示例

   初始化解释： 用前$0$种物品，在小于$i$的空间内，方案数是1,表示由于啥也不能选择，所以不管是哪个空间，都只能有一种方案，就是啥也不选。
   

2. 体积恰好$j$ 【$01$+完全】 f[i][0] = 1, 其余是0 示例

   初始化解释: 在前$i$种物品中选择，恰好空间为$0$的方案数，只能是啥也不选。

3. 体积至少$j$ 【只$01$背包】 f[0][0] = 1, 其余是0 示例

   初始化解释: 在前$0$种物品中选择，空间至少为$0$的方案数，只能是啥也不选

一维情况

1. 体积至多j, f[i] =1, 0 <= i <= m 示例
2. 体积恰好j, f[0] =1, 其余是0 示例
3. 体积至少j, f[0] =1, 其余是0 示例

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三、求最大值最小值初始化总结

二维情况

1. 体积至多$j$ 【$01$+完全】 $f[i,j] = 0$，$0 <= i <= n, 0 <= j <= m$（ 只会求价值的最大值）示例

2. 体积恰好$j$: 当求价值的最小值：f[0][0] = 0, 其余是INF 示例 当求价值的最大值：f[0][0] = 0, 其余是-INF 示例

3. 体积至少$j$，$f[0][0] = 0$，其余是$INF$（只会求价值的最小值） 示例

一维情况

1. 体积至多$j$，$f[i] = 0, 0 <= i <= m$（ 只会求价值的最大值） 示例
2. 体积恰好j: 【$01$+完全】

• 当求价值的最小值：f[0] = 0, 其余是INF 示例
• 当求价值的最大值：f[0] = 0, 其余是-INF 示例

3. 体积至少$j$，$f[0] = 0$，其余是$INF$（只会求价值的最小值） 示例