4.4 KiB
一、题目描述
潜水员为了潜水要使用特殊的装备。
他有一个带$2$种气体的气缸：一个为氧气，一个为氮气。
让潜水员下潜的深度需要各种数量的氧和氮。
潜水员有一定数量的气缸。
每个气缸都有重量和气体容量。
潜水员为了完成他的工作需要特定数量的氧和氮。
他完成工作所需气缸的总重的 最低限度 的是多少？
例如：潜水员有$5$个气缸。每行三个数字为：氧，氮的（升）量和气缸的重量：
3 36 120
10 25 129
5 50 250
1 45 130
4 20 119
如果潜水员需要$5$升的氧和$60$升的氮则总重最小为$249$（$1，2$或者$4，5$号气缸）。
你的任务就是计算潜水员为了完成他的工作需要的气缸的重量的 最低值。
输入格式 第一行有$2$个整数 $m，n$。它们表示氧，氮各自需要的量。
第二行为整数 k 表示气缸的个数。
此后的 k 行，每行包括$a_i，b_i，c_i$，$3$个整数。这些各自是：第 i 个气缸里的氧和氮的容量及气缸重量。
输出格式 仅一行包含一个整数，为潜水员完成工作所需的气缸的重量总和的最低值。
数据范围
1≤m≤21,1≤n≤79,1≤k≤1000,1≤a_i≤21,1≤b_i≤79,1≤c_i≤800
输入样例：
5 60
5
3 36 120
10 25 129
5 50 250
1 45 130
4 20 119
输出样例：
249
二、与普通二维背包费用问题的区别
-
普通的二维背包费用问题
f(i,j,k)表示从前$i$个物品中选，且花费$1$不超过j,花费$2$不超过$k$的 最大 价值 -
潜水员
f(i,j,k)表示从前$i$个物品中选，且花费$1$不少于j,花费$2$不少于$k$的 最小 价值
本题是一个 二维费用$01$背包问题 ，但和一般的 二维费用$01$背包问题 不同
这题要求的是 费用不少于 规定条件，因此我们需要对于 状态的定义 进行改变
闫氏$DP$分析法
这样分析完，似乎与普通的二维费用背包没有区别！这肯定是不可能的，我们必然是遗漏了些什么！！
考虑j-v_1<0,$k-v_2<0$的情况!
有普通的二维费用背包问题中，$j,k$是不能进行超载的，超过了背包就太重， 背包就 漏 了！
在本题中是 可以超载 的，理解一下超载是什么意思：
j:氧气还需要$j$升k:氮气还需要$k$升
举栗子：j=2,k=5,就是氧气还需要$2$升，氮气还需要$5$升，现在出现的某个气瓶，氧气$20$升，氮气$50$升，一个就可以把你的需求满足，那么请问：你还需要氧气多少升、氮气多少升呢？
答：不需要，都可以满足要求了，即j=0,k=0,也就是f[i-1][0][0]+w,而对于一个无欲无求的$f[i-1][0][0]$自然是等于0,也就是f[i][j][k]=w
三、三维解法
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010;
const int M = 110;
int n, m, m1, m2;
int f[N][M][M];
int main() {
cin >> m1 >> m2 >> n;
memset(f, 0x3f, sizeof f);
f[0][0][0] = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int v1, v2, w;
cin >> v1 >> v2 >> w;
for (int j = 0; j <= m1; j++)
for (int k = 0; k <= m2; k++) {
f[i][j][k] = f[i - 1][j][k];
f[i][j][k] = min(f[i - 1][j][k], f[i - 1][max(0, j - v1)][max(0, k - v2)] + w);
}
}
cout << f[n][m1][m2] << endl;
return 0;
}
四、二维解法
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 22, M = 80;
int n, m, K;
int f[N][M];
int main() {
cin >> n >> m >> K;
memset(f, 0x3f, sizeof f);
f[0][0] = 0;
while (K--) {
int v1, v2, w;
cin >> v1 >> v2 >> w;
for (int i = n; i >= 0; i--)
for (int j = m; j >= 0; j--)
f[i][j] = min(f[i][j], f[max(0, i - v1)][max(0, j - v2)] + w);
}
cout << f[n][m] << endl;
return 0;
}