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乘法逆元小结
https://www.freesion.com/article/43361201366/
乘法逆元，一般用于求
\large \frac{a}{b} \ \ \ (mod \ \ p)
的值，($p$通常为质数),是解决模意义下分数数值的必要手段。
一、逆元定义
很明显，上述式子只有一条不成立，即 $(a/b) % p$，但是在有些情况下，又需要进行有模运算的除法。因为式子不成立，如果 a 过大或者 b 过大，极易导致计算过程丢失精度，造成结果误差。因此，为了杜绝这一现象，逆元出现了。
若$a\times x \equiv 1 (mod \ b)$，且$a$与$b$互质，那么我们就能定义：
$x$为$a$的逆元,记为
a^{-1},所以我们也可以称$x$为$a$在$mod \ b$意义下的倒数。
所以对于
\frac{a}{b}\ (mod \ p)，我们就可以求出b在mod \ p下的逆元，然后乘上a，再 $mod \ p$，就是这个分数的值了。
二、求解逆元的方式
1、费马小定理+快速幂求逆元(p一定要质数)
费马小定理
若$p$为素数，$a$为正整数，且$a、p$互质。则有$a^{p−1}≡1(mod \ p)$。
这个我们就可以发现它这个式子右边刚好为 1 。
所以我们就可以放入原式，就可以得到：
\large a \times x \equiv 1 (mod \ \ p )
\large a \times x \equiv a^{p-1} (mod \ \ p )
\large x \equiv a^{p-2} (mod \ \ p )
所以我们可以用快速幂来算出 $a^{p−2}(mod \ p)$的值，这个数就是它的逆元了
代码也很简单：
typedef long long LL;
LL qmi(LL a, LL k, LL p) {
LL res = 1;
while (k) {
if (k & 1) res = res * a % p;
k >>= 1;
a = a * a % p;
}
return res;
}
int main() {
int a, p;
cin >> a >> p;
LL x = qmi(a, p - 2, p); // x为a在mod p意义下的逆元
return 0;
}
2、欧拉定理求逆元(相当于费马小定理的扩展)
解法一的拓展:欧拉定理+快速幂求逆元($p$不一定为质数,但a $p$还是要互质)
一般不用这种办法，因为它能干的，扩展欧几里得都能干！
略
3、扩展欧几里得
注意：($p$不用为质数但$a,p$要互质，不然$a^{-1}$无解)
这个方法十分容易理解，而且对于单个查找效率似乎也还不错，比后面要介绍的大部分方法都要快(尤其对于 mod \ p 比较大的时候)。
这个就是利用拓欧求解 线性同余方程 a∗x≡c(mod \ b) 的$c=1$的情况。我们就可以转化为解 a∗x+b∗y=1 这个方程。
求解这个方程的解。不会拓欧可以点这里~
而且这个做法还有个好处在于，当 a⊥p （互质），但 p 不是质数的时候也可以使用。
代码比较简单：
void exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y) {
if (!b) x = 1, y = 0;
else exgcd(b, a % b, y, x), y -= a / b * x;
}
int main() {
LL x, y;
exgcd (a, p, x, y);
x = (x % p + p) % p;
printf ("%d\n", x); //x是a在mod p下的逆元
}
4、递推打表
用于求一连串数字对于一个$mod \ p$的逆元。 P3811 【模板】乘法逆元 对于一个区间的逆元，只能用这种方法，别的算法都比这个要慢。
$O(n)$筛$1$到$n$所有数模$p$的逆元：
- 初值
\large Inv[1]=1 - 设
\large p=ki+r,则\large ki+r \equiv 0 (mod \ p) - 两边同乘
\large i^{-1}r^{-1},得\large kr^{-1}+i^{-1} \equiv 0 (mod \ p) - 移项：
\large i^{-1} \equiv -kr^{-1} (mod \ \ p ) \large k=\left \lfloor \frac{p}{i} \right \rfloor,所以-k \equiv p- \frac{p}{i} (mod \ \ p )- 所以
Inv[i]=(p-p/i)*Inv[p%i]%p
三、阶乘逆元 [挖坑待填]
线性求阶乘的逆元
设第$x$项阶乘为x!,其逆元为x!^{-1},那么有递推式:$\large \displaystyle (x-1)^{-1} = (x!)^{-1}*x$
所以从后往前递推求。
https://blog.csdn.net/qq_52142857/article/details/121032531
https://www.bbsmax.com/A/xl56Pb97zr/