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### 模是质数求逆元
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如果$a \times b=1(mod\ p)$，则$a$为$b$互为$mod$ $p$逆元,其中$p$是质数。
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根据费马小定理得
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$$\large a^{p-1}\equiv 1 (mod \ p)$$
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$$\large \Rightarrow a \times a^{p-2} \equiv 1 (mod \ \ p )$$
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所以，$a$和$a^{p-2}$互为 $(mod \ \ p )$ 逆元。
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为了理解快速幂思想，先看一个例子：求$5 ^ {19} = ?$
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因为$$19_{(10)} = 10011_{(2)}$$，所以有$$5 ^ {19} = 5 ^ {(1+2+16)} = 5^1 * 5^2 * 5^{16}$$,将二进制分解思想实现。
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### 快速幂代码
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```c++
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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int normal_pow(int a, int p) {
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int ans = pow(a, p); //普通幂
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return ans;
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}
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//递归版本的快速幂
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int qpow_1(int a, int p) {
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if (p == 0)
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return 1; //任何数的0次方都是1,递归出口
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else if (p & 1) //如果p是奇数
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return qpow_1(a, p - 1) * a; //结果=qpow_1(a,p-1)*a，相当于用小一级的数字进行描述，形成递归
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else {
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int t = qpow_1(a, p / 2); //如果p是偶数,分治，结果相乘
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return t * t;
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}
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}
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//循环版本的快速幂,利用二进制思想进行8 4 2 1方式计算，达到logN的时间复杂度
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int qpow_2(int a, int p) {
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int ans = 1;
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while (p) {
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if (p & 1) ans *= a;
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a *= a;
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p >>= 1; //缩小一半
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}
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return ans;
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}
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int main() {
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for (int i = 1; i <= 10; i++) {
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cout << normal_pow(2, i) << endl;
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cout << qpow_1(2, i) << endl;
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cout << qpow_2(2, i) << endl;
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}
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return 0;
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}
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```
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### 数论题目中的快速幂
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```c++
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typedef long long LL;
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// 快速幂 (a^k)%p
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LL qmi(LL a, LL k, LL p) {
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LL res = 1;
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while (k) {
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if (k & 1) res = res * a % p;
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k >>= 1;
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a = a * a % p;
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}
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return res;
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}
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```
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### 快速幂求逆元
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$normal_pow$是普通的求幂，$qpow\_1$是递归方式实现快速幂，$qpow\_2$用循环的方式实现快速幂，求逆元即求$qpow\_1(a, p-2)$或$qpow\_2(a, p-2)$
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