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3.4 KiB
C++
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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typedef long long LL;
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//扩展欧几里得
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LL exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y) {
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if (!b) {
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x = 1, y = 0;
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return a;
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}
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LL d = exgcd(b, a % b, y, x);
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y -= a / b * x;
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return d;
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}
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/*
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测试用例：
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1
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2 3 5
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答案：
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1 1 1 1 1
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*/
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int main() {
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int t;
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scanf("%d", &t);
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while (t--) {
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LL a, b, c;
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scanf("%lld %lld %lld", &a, &b, &c);
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LL x, y;
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LL d = __gcd(a, b); //使用库函数__gcd计算最大公约数d
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if (c % d) //裴蜀定理,当gcd(a,b)不能整除c时，方程无解,输出-1
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puts("-1");
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else {
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//这步很值得总结：一个方程拿到手，第一步是化简，就是把a,b,c中都除以gcd(a,b),实现化简
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//举个栗子：2x+4y=8 -> x+2y=4 很直白吧，套路吧~ 此方程与原方程的角系一样吧~
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//当然，也可能化简不了，比如： 2x+3y=5,因为gcd(2,3)=1,化不化简都一样
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//但这里有一个事实，因为 a'=a/gcd(a,b),b'=b/gcd(a,b)后，a',b'肯定是互质。
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//令d'=gcd(a',b') 现在d'=1
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a /= d, b /= d, c /= d;
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//扩展欧几里得，一通用形式返回d,在有的题解中，不采用exgcd返回d,而是用__gcd计算d.
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//把扩展欧几里得算法定位为取特解x,y专用，也是比较直观简便的。
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//性能上嘛，由于辗转相除法不断的变更除数，速度上很快，两次也没有问题。
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//扩欧的形式：ax+by=gcd(a,b),求方程的一组解 x,y。现在的情况下，gcd(a,b)=1了，可以
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exgcd(a, b, x, y);
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x *= c, y *= c; //结果(x,y)需要乘以c才能还原为ax+by=c的方程解。
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/*
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通解公式： x=x0+b/d*t
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y=y0-a/d*t
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此时d=1,则通解公式：
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x=x0+b*t
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y=y0-a*t
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想要xmin => x0固定值，b固定值，只能变化的是t,每变化一次就增加、减少一个b
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*/
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// printf("x=%lld y=%lld a=%lld b=%lld\n", x, y, a, b);
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LL xmin = (x % b + b) % b; //利用最小正整数解的公式(需要特判0)
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if (xmin == 0) xmin = b; // xmin如果是0，需要特判,加一个b搞定~
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LL ymin = (y % a + a) % a; //利用最小正整数解的公式(需要特判0)
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if (ymin == 0) ymin = a; // ymin如果是0，需要特判,加一个a搞定~
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// printf("xmin=%lld ymin=%lld\n", xmin, ymin);
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// x最大值怎么求呢？简单利用原始方程变形求
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// ax+by=c => ax=c-by => x = (c-by)/a
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// x要想最大，则y必须取最小值
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LL xmax = (c - b * ymin) / a;
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// y要想最大，则x必须取最小值
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LL ymax = (c - a * xmin) / b;
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if (xmax <= 0 || ymax <= 0) //若最大值还不是正整数，则无正整数解
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printf("%lld %lld\n", xmin, ymin); //输出最小值
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else {
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//解的个数是最大 x 最小 x 的差除以模数 b 再加上1。
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LL sum = (xmax - xmin) / b + 1; //不足b时，也有1个解，+b就增加一个解
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printf("%lld %lld %lld %lld %lld\n", sum, xmin, ymin, xmax, ymax);
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}
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}
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}
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return 0;
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} |