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### [$P9749$ [$CSP-J$ $2023$] 公路](https://www.luogu.com.cn/problem/P9749?contestId=140858)
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### 题目分析
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题目较长，需要反复阅读才能理解题意，但解题的关键也在于理解题意。
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简单描述题目为：开车从$1$ 走到 $n$, 路过站点时可以加油，每个站点的油价不同，有高有低，如何加油可以使 **总费用最低**？
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考虑最开始的情况：在起始位置，车辆一滴油都没有，所以在 $a[1]$ 站点必须要加油。那么加多少呢？
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很自然根据贪心思想，找到下一个站点 $a[j]$, 如果 $a[j]$ 比 $a[1]$ 价格便宜，就可以在 $a[j]$ 加油。
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因此，程序的主体算法可以用伪代码表示为:
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```
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while (车辆还没有跑到终点) {
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找到下一个便宜的加油站 a[j]
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加的油刚好能到站点 a[j]
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累加费用
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}
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输出总费用
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```
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可以简单证明一下贪心算法的合理性：
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- 从第一站开始，只有一种最优的加油方案，就是加最少的油跑到下一个便宜的加油站。
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- 以此类推，跑完全程，每一次加油都是最便宜的方案，因此总方案也是最便宜的。
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#### 实现细节
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从节点 $[i]$ 跑到节点 $[j]$ 油箱里的油 **可能是有剩余的**，编码时需要把剩余的油量考虑在内。有点类似计算加减法的进位和借位。
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计算从 $i$ 到 $j$ 的费用可以表示为：
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```
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int 计算费用(int i, int j) {
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1. 计算 i -> j 的路程
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if (油箱里剩余的油足够) {
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不用加油，油箱里的油减少
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费用为 0
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} else {
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需要加油,计算加多少油，需要考虑油箱剩余的油
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计算加油费用
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跑到 j 时，油箱的油还能跑几公里，保存到全局变量
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}
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返回费用
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}
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```
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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#define int long long
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const int N = 100010;
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int v[N]; // 站点间的距离
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int a[N]; // 每个站点的油价
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int n; // n个站点
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double d; // 1升油可以跑多少公里
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int money; // 一共花费
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int r; // 油箱的油可以跑的公里数
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int getMoney(int begin, int end) { // 左闭右开
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int length = 0;
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for (int i = begin; i < end; i++) length += v[i];
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if (r >= length) {
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// 不用加油
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r -= length;
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return 0;
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} else {
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// 需要加油, 计算加多少油: 油箱的油还有剩余，还能跑几公里
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int add = ceil((length - r) / d);
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// 计算加油费用
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int x = a[begin] * add;
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// 跑到 end, 油箱的油还能跑几公里
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r = add * d + r - length;
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return x;
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}
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}
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signed main() {
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cin >> n >> d; // n个站点,每升油可以让车前进d公里
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for (int i = 1; i < n; i++) cin >> v[i]; // 站点间的距离 a1~a2,a2~a3,...
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for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i]; // 不同站点加油的价格
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int i = 1;
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while (i < n) {
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int j = i + 1;
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// 找到下一个便宜的加油站
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while (j <= n && a[j] >= a[i]) j++;
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money += getMoney(i, j);
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i = j;
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}
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cout << money << endl;
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}
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```
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3 总结
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本题的题目具有一定的迷惑性，具体模拟一遍开车加油的流程就可以发现，最优化的加油方案只有一种，就是每一步都找到花费最小的加油站，然后开车过去即可。
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因此，贪心加模拟可以解决此问题。 |