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**结论**：
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$tan \alpha=\frac{1}{2},tan \beta=\frac{1}{3},\alpha+\beta=45^{\circ}$
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利用结论：
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设$\angle BAE=\angle \alpha,\angle FAD=\angle \beta$
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$\because BE=2,AB=4$
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$\large \therefore \frac{BE}{AB}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}=tan \alpha$
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双$\because \alpha+ \beta=45^{\circ}$
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根据结论：$\frac{DF}{AD}=\frac{1}{3} $
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$\therefore DF=2$
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**证明**：
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绘制右侧的图形，$\angle \alpha +\beta=45^{\circ}$
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取角分线上任意一点$P$,向$AB,AC$引垂线，构造直角三角形，同时，延长$NP$交$AB$与$M$。
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这样就有了好多个直角三角形，计算起来就容易了：
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$\because tan\alpha=\frac{1}{2}$
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设$EP=x$,则$AE=2x$
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$\because \angle ANM$是引垂线引出的直角三角形，$\angle NAB=45^{\circ}$
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$\therefore \angle AMN=45^{\circ}$
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$\therefore EM=EP=x$
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$PM=\sqrt{2}x,AM=3x$
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再利用等腰直角三角形的边长关系，得到
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$AN=MN$
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$\because 2 AN^2=(3x)^2$
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$AN=\sqrt{\frac{(3x)^2*2}{2*2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}x$
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$\therefore PN=\frac{3\sqrt{2}}{2}x-\sqrt{2}x=\frac{\sqrt{2}}{2}x$
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$\therefore tan \beta=\frac{PN}{AN}=\frac{1}{3}$
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**证毕** |