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# GESP202506 第2题题解
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## 一、题目描述
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### 1.1 问题大意
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给定n个正整数a₁,a₂,…,aₙ，以及q组询问。对于每组询问i（1≤i≤q），请输出gcd(a₁+i,a₂+i,…,aₙ+i)的值，也就是所有数加上i后的最大公约数。
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### 1.2 输入格式
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第一行，两个正整数n和q，分别表示给定正整数的数量，以及询问的组数。
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第二行，n个正整数a₁,a₂,…,aₙ。
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接下来q行，每行包含一个正整数i，表示每组询问的参数。
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### 1.3 输出格式
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输出q行，每行包含一个正整数，表示第i组询问对应的所有数加i后的最大公约数。
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## 二、解题思路
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### 2.1 数学原理
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这道题的关键在于利用一个重要的数学性质：
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对于任意正整数x，有： gcd(a₁+x, a₂+x, ..., aₙ+x) = gcd(gcd(a₂-a₁, a₃-a₁, ..., aₙ-a₁), a₁+x)
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这个性质的证明如下：
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- 设d = gcd(a₁+x, a₂+x, ..., aₙ+x)
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- 则d整除(a₂+x)-(a₁+x) = a₂-a₁，同理d整除a₃-a₁, ..., aₙ-a₁
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- 因此d整除gcd(a₂-a₁, a₃-a₁, ..., aₙ-a₁)
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- 同时d整除a₁+x
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- 所以d整除gcd(gcd(a₂-a₁, a₃-a₁, ..., aₙ-a₁), a₁+x)
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- 反过来，设g = gcd(gcd(a₂-a₁, a₃-a₁, ..., aₙ-a₁), a₁+x)
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- 则g整除a₁+x，且g整除所有的a_i-a₁
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- 因此g整除(a₁+x)+(a_i-a₁) = a_i+x，对所有i成立
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- 所以g整除gcd(a₁+x, a₂+x, ..., aₙ+x)
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- 综上，两者相等
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### 2.2 算法思路
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1. 1.
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首先对数组a进行排序（排序不是必须的，但有助于理解算法）
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2. 2.
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计算所有相邻元素差的GCD，记为g
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- 实际上，根据数学性质，只需要计算所有元素与第一个元素差的GCD
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- 但计算相邻元素差的GCD可以更高效地得到相同的结果
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3. 3.
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对于每个查询x，计算gcd(g, a[1]+x)，即为答案 |