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[原贴](https://www.acwing.com/blog/content/458/)
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### 一、学习过程总结
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一开始学背包问题时遇到的大多数的状态表示是：从前$i$个物品中选，且总体积**至多**是$j$的问题。
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慢慢地在提高课中，就有出现状态表示是：从前$i$个物品中选，且总体积**恰好**是$j$的问题。例如 [$AcWing$ $1023$. 买书](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/15668269.html) ，求的是恰好是$j$的**总方案数**问题。
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同时还出现了状态表示是：从前$i$个物品中选，且总体积**至少**是$j$的问题。例如 [$AcWing$ $1020$. 潜水员](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/15689906.html) ，求的是总体积**至少**是$j$的**最小价值**。
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### 二、求方案数初始化总结
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#### 二维情况
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1. **体积至多$j$** 【$01$+完全】
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$f[0][i] = 1$, $0 <= i <= m$，其余是$0$ [示例](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/15848671.html)
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**初始化解释**：
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用前$0$种物品，在小于$i$的空间内，方案数是$1$,表示由于啥也不能选择，所以不管是哪个空间，都只能有一种方案，就是啥也不选。
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2. **体积恰好$j$** 【$01$+完全】
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$f[i][0] = 1$, 其余是$0$ [示例](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/15848681.html)
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**初始化解释**:
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在前$i$种物品中选择，恰好空间为$0$的方案数，只能是啥也不选。
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3. **体积至少$j$** 【只$01$背包】
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$f[0][0] = 1$, 其余是$0$ [示例](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/15848682.html)
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**初始化解释**:
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在前$0$种物品中选择，空间至少为$0$的方案数，只能是啥也不选
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#### 一维情况
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1. 体积至多$j$, $f[i] =1$, $0 <= i <= m$ [示例](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/15848671.html)
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2. 体积恰好$j$, $f[0] =1$, 其余是$0$ [示例](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/15848681.html)
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3. 体积至少$j$, $f[0] =1$, 其余是$0$ [示例](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/15848682.html)
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### 三、求最大值最小值初始化总结
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#### 二维情况
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1. **体积至多$j$** 【$01$+完全】
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$f[i,j] = 0$，$0 <= i <= n, 0 <= j <= m$（ <font color='blue' size=4><b>只会求价值的最大值</b></font>）[示例](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/15848699.html)
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2. **体积恰好$j$**:
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当求价值的最小值：$f[0][0] = 0$, 其余是$INF$ [示例](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/15848719.html)
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当求价值的最大值：$f[0][0] = 0$, 其余是$-INF$ [示例](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/15848821.html)
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3. **体积至少$j$**，$f[0][0] = 0$，其余是$INF$（只会求价值的最小值） [示例](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/15848743.html)
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#### 一维情况
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1. 体积至多$j$，$f[i] = 0, 0 <= i <= m$（ <font color='blue' size=4><b>只会求价值的最大值</b></font>） [示例](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/15848699.html)
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2. 体积恰好$j$: 【$01$+完全】
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* 当求价值的最小值：$f[0] = 0$, 其余是$INF$ [示例](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/15848719.html)
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* 当求价值的最大值：$f[0] = 0$, 其余是$-INF$ [示例](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/15848821.html)
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3. 体积至少$j$，$f[0] = 0$，其余是$INF$（只会求价值的最小值） [示例](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/15848743.html)
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