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一、题目描述
有 N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有 无限件 可用。
第 i 种物品的体积是 $v_i$，价值是 $w_i$。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。 输出最大价值。
输入格式 第一行两个整数，$N，V$，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。
接下来有 N 行，每行两个整数 $v_i,w_i$，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积和价值。
输出格式 输出一个整数，表示最大价值。
数据范围
0<N,V≤1000
0<v_i,w_i≤1000
输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例：
10
二、完全背包
状态表示：$f(i,j)$ 集合： $i$是指在前$i$个物品中进行选择，$j$是指在总体积不超过$j$的容量下进行选择。 属性： 求一个最大值。 因为按上面的集合进行选择，每选择一次，就会出现一个结果，我们想求的是这些结果中的最大值。
状态计算 与$01$背包不一样，$01$背包是每一个物品选与不选，完全背包不是这个意思。是可以不选，选择$1$个，或者选择多个。
第$i$个物品，我们可以选择，也可以放弃，放弃了自然就是f[i-1][j],这个没什么好讲。
如果我们选择了$i$物品，肯定要带上它的价值v_i,而承担它的重量w_i,
完成了选择它以后，我们接下来可以在前多少个物品中选呢？其实，还是$i$个，因为每种物品的数量无限啊！所以，选完了i,剩余的表示还是:$f[i][j-v_i]$。
总结一下 二维情况下的状态转移方程
$\ 01$背包 ： f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-v_i]+w_i)
完全背包： f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-v_i]+w_i)
这样，再用二维降一维的思路来思考，就得到了完全背包的终极解法：
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
for (int j = v[i]; j <= m; j ++ )
f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
三、二维写法
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int f[N][N];
int main() {
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int v, w;
cin >> v >> w;
for (int j = 1; j <= m; j++) {
f[i][j] = f[i - 1][j];
if (j >= v)
f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j - v] + w);
}
}
printf("%d\n", f[n][m]);
return 0;
}
四、一维解法
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int f[N];
// 完全背包问题
int main() {
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int v, w;
cin >> v >> w;
for (int j = v; j <= m; j++)
f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);
}
printf("%d\n", f[m]);
return 0;
}
五、思考
为什么$01$背包要倒着推，完全背包要顺着推 https://www.cnblogs.com/MyNameIsPc/p/7782700.html