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##AcWing 859. $Kruskal$算法求最小生成树
一、题目描述
给定一个 n 个点 m 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。
求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。
给定一张边带权的无向图 $G=(V,E)$，其中 V 表示图中点的集合，E 表示图中边的集合，$n=|V|$，$m=|E|$。
由 V 中的全部 n 个顶点和 E 中 n−1 条边构成的无向连通子图被称为 G 的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 G 的最小生成树。
输入格式
第一行包含两个整数 n 和 $m$。
接下来 m 行，每行包含三个整数 $u,v,w$，表示点 u 和点 v 之间存在一条权值为 w 的边。
输出格式
共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。
数据范围
1≤n≤10^5,1≤m≤2∗10^5,
图中涉及边的边权的绝对值均不超过 $1000$。
输入样例：
4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4
输出样例：
6
二、$Kruskal$算法
1、基本思路：
（1） 将所有边按权重从小到大排序
（2） 枚举每条边 a \sim b ,权重是c
if a,b不在一个集合中 ：
将这条边加入集合中
结束
2、与$prim$算法的区别
- 克鲁斯卡尔算法的基本思想是以边为主导地位，普利姆算法是以点为主导的地位的。
- $prim$算法适合稠密图，$kruskal$算法适合稀疏图。理由也挺简单的，$kruskal$是按边存的，边少就合适，边多就不适合。稀疏图当然边少，稠密图是点少，但边多，边可能达到节点数的平方，即每个节点都与其它节点有边。
3、算法模拟
假如有以下几个城市，之间都有相连的道路：
根据$kruskal$的原理，我们需要对边权$dis$进行排序，每次找出最小的边。 排序后，最小的边自然是第$8$条边，于是$4$和$6$相连。
遍历继续，第二小的边是$1$号，$1$和$2$联通。
再后来是边$3$连接1,$4$。
$dis$也是$14$的还有边$5$，它连接3,$4$。
其次是$dis$为$15$的边$4$，但是$2$和$4$已经相连了，$pass$。
然后是$dis$为$16$的两条边（边$2$和边$9$），边$2$连接$1$和$3$，边$9$连接$3$和$6$，它们都已经间接相连，$pass$。
再然后就是$dis$为$22$的边$10$，它连接$5$和$6$，$5$还没有加入组织，所以使用这边。继续，发现此时已经连接了$n-1$条边，结束，最后图示如下：
本题与 https://www.acwing.com/problem/content/839/ 是姊妹题，其实$Kruskal$算法就是一个并查集的应用。
不像$Prim$算法，不用考虑边界，考虑循环$N$次啊，计算最小值啊，还要用堆进行优化啊，这个就是一个并查集，思路简单。
4、疑问与解答
Q:只需要简单结构体即可,不需要邻接表或者邻接矩阵来存，为什么呢？
A:之所以使用邻接表或邻接矩阵，其实说白了，是按点存的，记录$A$点和$B$点的关系。用结构体存储，其实是按边存的，就是题目说有一条$A-B$的边（权为$C$），我们就存了一个$A-B$权为$C$的边。
按点存麻烦（邻接表或邻接矩阵），按边存（结构体数组）简单。
Code
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100010, M = N << 1;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m; // n条顶点,m条边
int res; // 最小生成树的权值和
int cnt; // 最小生成树的结点数
// Kruskal用到的结构体
struct Node {
int a, b, c;
bool const operator<(const Node &t) const {
return c < t.c; // 边权小的在前
}
} edge[M]; // 数组长度为是边数
// 并查集
int p[N];
int find(int x) {
if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
return p[x];
}
// Kruskal算法
void kruskal() {
// 1、按边权由小到大排序
sort(edge, edge + m);
// 2、并查集初始化
for (int i = 1; i <= n; i++) p[i] = i;
// 3、迭代m次
for (int i = 0; i < m; i++) {
int a = edge[i].a, b = edge[i].b, c = edge[i].c;
a = find(a), b = find(b);
if (a != b)
p[a] = b, res += c, cnt++; // cnt是指已经连接上边的数量
}
// 4、特判是不是不连通
if (cnt < n - 1) res = INF;
}
int main() {
cin >> n >> m;
for (int i = 0; i < m; i++) {
int a, b, c;
cin >> a >> b >> c;
edge[i] = {a, b, c};
}
kruskal();
if (res == INF)
puts("impossible");
else
printf("%d\n", res);
return 0;
}