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### [$AcWing$ $797$. 差分](https://www.acwing.com/problem/content/799/)
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定义：$b[i]=a[i]-a[i-1]$,称$b$数组是$a$数组的差分数组。
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举个栗子：
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$a=[0,1,2,3,4,5]$
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$b=[0,1,1,1,1,1]$
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为啥呢？
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$a[5]-a[4]=b[5]$
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$a[4]-a[3]=b[4]$
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$a[3]-a[2]=b[3]$
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$a[2]-a[1]=b[2]$
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$a[1]-a[0]=b[1]$
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算一下，就是$b=[1,1,1,1,1]$
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把上面五个式子左边加在一起，右边也加在一起，两边还应该相等。就是：
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$a[5]-a[4]+a[4]-a[3]+a[3]-a[2]+a[2]-a[1]+a[1]-a[0]=b[5]+b[4]+b[3]+b[2]+b[1]$
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$a[5]=b[1]+b[2]+b[3]+b[4]+b[5]$
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太奇妙了！<font color='red'>**$a$数组是$b$数组的一维前缀和数组！**</font>
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**小结：**
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(1)、$a$数组中，每个数字**后面减前面得到的数字填入$b$数组**，$b$数组就叫$a$数组的差分数组。
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(2)、同时，$a$数组就是$b$数组的前缀和数组。
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(3)、**通过“叠加”差分数组，就可以还原出“原数组”的每一个数字！**
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(4)、**前缀和与差分互为逆运算，有原数组可以计算出差分数组；有差分数组，也可以还原成原数组。**
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#### 2、一维差分作用
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使用场景：
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**在某个区间$[l,r]$的多次操作都加上（或减去）一个数$x$时，一维差分可以大大提高运算速度。**
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举个栗子：
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<center><img src='https://img2020.cnblogs.com/blog/8562/202109/8562-20210907140423790-882246210.png'></center>
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总结公式：
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```c++
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void insert(int l,int r,int c){
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b[l]+=c;
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b[r+1]-=c;
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}
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```
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我们利用刚才的结论:**通过“叠加”差分数组，就可以还原出“原数组”的每一个数字！**!这玩意就整一回合适吗？不合适，还不够费功夫的呢！生成一维差分也就算了，从一维差分数组还原回原数组就需要$n$次运算，整不好还赔了呢！但如果是多次区间加减运算，就合适了！
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#### 3、一维差分应用
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 100010;
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int n, m;
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int a[N], b[N];
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/**
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* 功能：差分计算
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* @param l 左边界
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* @param r 右边界
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* @param c 值
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*/
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void insert(int l, int r, int c) {
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b[l] += c;
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b[r + 1] -= c;
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}
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int main() {
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cin >> n >> m;
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for (int i = 1; i <= n; i++) {
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cin >> a[i];
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insert(i, i, a[i]);
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//或者 b[i]=a[i]-a[i-1];
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}
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while (m--) {
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int l, r, c;
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cin >> l >> r >> c;
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insert(l, r, c);
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}
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for (int i = 1; i <= n; i++)
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a[i] = a[i - 1] + b[i], printf("%d ", a[i]);
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return 0;
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}
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```
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### [$AcWing$ $798$. 差分矩阵](https://www.acwing.com/problem/content/800/)
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#### 1、二维差分定义
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我们有一个矩阵，如下图所示。
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根据二维前缀和表示的是右上角矩形的和，由于差分只涉及前面相邻的数（由一维可以推出），并且由前面范围的数相加得到这个位置的数。那么类比二维前缀和和一维差分，可以简单推测出
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**二维差分的公式**
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$b[i][j]=a[i][j]-a[i-1][j]-a[i][j-1]+a[i-1][j-1]$
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**如何从差分矩阵得到原矩阵呢？**[就是二维前缀和公式]
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$a[i][j] = a[i - 1][j] + a[i][j - 1] - a[i - 1][j - 1] + b[i][j]$
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**举个栗子**
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比如，我们有一个矩阵 a，如下所示：
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```c++
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1 2 4 3
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5 1 2 4
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6 3 5 9
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```
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那么对应的二维差分矩阵 b 如下：
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```c++
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1 1 2 -1
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4 -5 -1 3
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1 1 1 2
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```
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#### 2、二维差分用途
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和一维差分的用途基本一致，在一个二维矩阵中，有多块区间需要增加或减少一个数值，多次操作后求最终的矩阵内容。如果按照传统办法，就是二层循环，复杂度很高，如果预处理出一个二维的差分矩阵，以后的多轮操作都转为了4次加加减减操作，可以视为$O(1)$级别的时间复杂度，运算效率将得到极大提高。
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#### 3、二维差分构建
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如果我们要在左上角是 `(x1,y1)`，右下角是 `(x2,y2)` 的矩形区间每个值都 `+c`，如下图所示
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在我们要的区间开始位置`（x1,y1）`处 `+c`，根据前缀和的性质，那么它影响的就是整个黄色部分，多影响了两个蓝色部分，所以在两个蓝色部分 `-c` 消除 `+c` 的影响，而两个蓝色部分重叠的绿色部分多了个 `-c` 的影响，所以绿色部分 `+c` 消除影响。所以对应的计算方法如下：
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```
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void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c){
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b[x1][y1] += c; //开始位置增加C
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b[x2 + 1][y1] -= c; //见上面的图，把第二行的蓝色区域减去C
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b[x1][y2 + 1] -= c; //见上面的图，把第一行的蓝色区域减去C
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b[x2 + 1][y2 + 1] += c; //交叉位置被减了两次，需要补回来。
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}
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```
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#### 4、二维差分应用
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 1010;
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int a[N][N], b[N][N];
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int n, m, q;
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/**
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* 功能：二维差分构建
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* @param x1 左上角横坐标
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* @param y1 左上角纵坐标
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* @param x2 右下角横坐标
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* @param y2 右下角纵坐标
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* @param c 值
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*/
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void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c) {
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b[x1][y1] += c;
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b[x2 + 1][y1] -= c;
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b[x1][y2 + 1] -= c;
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b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
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}
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int main() {
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cin >> n >> m >> q;
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//读入并构建
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for (int i = 1; i <= n; i++)
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for (int j = 1; j <= m; j++)
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cin >> a[i][j], insert(i, j, i, j, a[i][j]);
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//q次区域变化
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while (q--) {
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int x1, y1, x2, y2, c;
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cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> c;
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insert(x1, y1, x2, y2, c);
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}
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//还原二维数组
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for (int i = 1; i <= n; i++) {
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for (int j = 1; j <= m; j++) {//二维前缀和公式
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a[i][j] = a[i - 1][j] + a[i][j - 1] - a[i - 1][j - 1] + b[i][j];
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printf("%d ", a[i][j]);
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}
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printf("\n");
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}
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return 0;
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}
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```
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