326 lines
11 KiB
Markdown
326 lines
11 KiB
Markdown
## [$AcWing$ $1134$. 最短路计数](https://www.acwing.com/problem/content/1136/)
|
||
|
||
### 一、题目描述
|
||
给出一个 $N$ 个顶点 $M$ 条边的 **无向无权图**，顶点编号为 $1$ 到 $N$。
|
||
|
||
问从顶点 $1$ 开始，到其他每个点的 **最短路有几条**。
|
||
|
||
**输入格式**
|
||
第一行包含 $2$ 个正整数 $N,M$，为图的顶点数与边数。
|
||
|
||
接下来 $M$ 行，每行两个正整数 $x,y$，表示有一条顶点 $x$ 连向顶点 $y$ 的边，**请注意可能有自环与重边**。
|
||
|
||
**输出格式**
|
||
输出 $N$ 行，每行一个非负整数，第 $i$ 行输出从顶点 $1$ 到顶点 $i$ 有多少条不同的最短路，由于答案有可能会很大，你只需要输出对 $100003$ 取模后的结果即可。
|
||
|
||
如果无法到达顶点 $i$ 则输出 $0$。
|
||
|
||
**数据范围**
|
||
$1≤N≤105,1≤M≤2×10^5$
|
||
|
||
**输入样例**：
|
||
```cpp {.line-numbers}
|
||
5 7
|
||
1 2
|
||
1 3
|
||
2 4
|
||
3 4
|
||
2 3
|
||
4 5
|
||
4 5
|
||
```
|
||
|
||
**输出样例**：
|
||
```cpp {.line-numbers}
|
||
1
|
||
1
|
||
1
|
||
2
|
||
4
|
||
```
|
||
|
||
### 二、解题思路
|
||
|
||
> 要求 **最短路计数** 要满足: **不能存在路径和为$0$的环**，因为存在的话某个环中不断的转圈不出来，而路径长度不变,那么被更新的点的条数就为$INF$了
|
||
|
||
#### 1. 更新记录最短路的数量
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
#### 2. 求最短路的算法
|
||
* $bfs$
|
||
只入队一次，出队一次, **可以抽象成拓扑图**， 因为它可以保证被更新的点的父节点一定已经是最短距离了，并且这个点的条数已经被完全更新过了。
|
||
|
||
* $dijkstra$
|
||
每个点只出队一次, **可以抽象成拓扑图**， 同理由于每一个出队的点 **一定** 已经是 **最短距离**，并且它出队的时候是队列中距离最小的点，这就代表他的最短距离条数已经被完全更新了，所以构成拓扑性质。
|
||
|
||
|
||
<!-- 让表格居中显示的风格 -->
|
||
<style>
|
||
.center
|
||
{
|
||
width: auto;
|
||
display: table;
|
||
margin-left: auto;
|
||
margin-right: auto;
|
||
}
|
||
</style>
|
||
<div class="center">
|
||
|
||
| 题型 | 方法 | 可行性 | 备注 |
|
||
| ----------------------------------- | -------------------------------- | ------ | --------------------------------------------- |
|
||
| 最短路+最短路数量 | $Dijkstra+Heap+DP$ | $√$ | <font color='red' size='4'><b>推荐</b></font> |
|
||
| | $bfs+DP$ | $√$ | 了解 |
|
||
| | $spfa+DP$ | $√$ | 了解 |
|
||
| | 求最短路+建拓扑图+遍历拓扑图$DP$ | $√$ | <font color='blue' size=4><b> 学习</b></font> |
|
||
| 最短路+最短中数量+次短路+次短路数量 | $Dijkstra$堆优化+$DP$+拆点 | $√$ | <font color='red' size=4><b>推荐</b></font> |
|
||
| | $bfs+DP$ | $×$ | |
|
||
| | $spfa+DP$ | $×$ | |
|
||
| | 求最短路+建拓扑图+遍历拓扑图$DP$ | $√$ | <font color='blue' size=4><b>学习</b></font> |
|
||
</div>
|
||
|
||
|
||
|
||
#### $bfs$解法
|
||
```cpp {.line-numbers}
|
||
#include <bits/stdc++.h>
|
||
using namespace std;
|
||
const int N = 4e5 + 10;
|
||
const int MOD = 100003;
|
||
int h[N], ne[N], e[N], idx;
|
||
void add(int a, int b) {
|
||
e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
|
||
}
|
||
|
||
int cnt[N]; // 从顶点1开始，到其他每个点的最短路有几条
|
||
int dis[N]; // 最短距离
|
||
int n, m;
|
||
void bfs() {
|
||
memset(dis, 0x3f, sizeof dis);
|
||
queue<int> q;
|
||
q.push(1);
|
||
cnt[1] = 1; // 从顶点1开始，到顶点1的最短路有1条
|
||
dis[1] = 0; // 距离为0
|
||
|
||
while (q.size()) {
|
||
int u = q.front();
|
||
q.pop();
|
||
for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
|
||
int j = e[i];
|
||
if (dis[j] > dis[u] + 1) {
|
||
dis[j] = dis[u] + 1;
|
||
q.push(j);
|
||
cnt[j] = cnt[u];
|
||
} else if (dis[j] == dis[u] + 1)
|
||
cnt[j] = (cnt[j] + cnt[u]) % MOD;
|
||
}
|
||
}
|
||
}
|
||
int main() {
|
||
memset(h, -1, sizeof h);
|
||
scanf("%d %d", &n, &m);
|
||
while (m--) {
|
||
int a, b;
|
||
scanf("%d %d", &a, &b);
|
||
add(a, b), add(b, a);
|
||
}
|
||
bfs();
|
||
for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%d\n", cnt[i]);
|
||
return 0;
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
#### $Dijkstra$解法
|
||
```cpp {.line-numbers}
|
||
#include <bits/stdc++.h>
|
||
using namespace std;
|
||
typedef pair<int, int> PII;
|
||
const int N = 100010, M = 400010;
|
||
const int MOD = 100003;
|
||
|
||
int n, m;
|
||
int cnt[N];
|
||
int dis[N];
|
||
bool st[N];
|
||
int h[N], e[M], ne[M], idx;
|
||
void add(int a, int b) {
|
||
e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
|
||
}
|
||
|
||
void dijkstra() {
|
||
memset(dis, 0x3f, sizeof dis);
|
||
dis[1] = 0;
|
||
cnt[1] = 1; // 出发点到自己的最短路径有1条，长度是0
|
||
|
||
// 小顶堆q
|
||
priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> q;
|
||
q.push({0, 1});
|
||
|
||
while (q.size()) {
|
||
auto t = q.top();
|
||
q.pop();
|
||
int u = t.second;
|
||
|
||
if (st[u]) continue;
|
||
st[u] = true;
|
||
|
||
for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
|
||
int j = e[i];
|
||
if (dis[j] > dis[u] + 1) {
|
||
dis[j] = dis[u] + 1;
|
||
cnt[j] = cnt[u];
|
||
q.push({dis[j], j});
|
||
} else if (dis[j] == dis[u] + 1)
|
||
cnt[j] = (cnt[j] + cnt[u]) % MOD;
|
||
}
|
||
}
|
||
}
|
||
|
||
int main() {
|
||
scanf("%d %d", &n, &m);
|
||
memset(h, -1, sizeof h);
|
||
while (m--) {
|
||
int a, b;
|
||
scanf("%d %d", &a, &b);
|
||
add(a, b), add(b, a);
|
||
}
|
||
dijkstra();
|
||
for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%d\n", cnt[i]);
|
||
return 0;
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
|
||
### 三、扩展练习
|
||
[$POJ$ - $3463$ $Sightseeing$](http://poj.org/problem?id=3463)
|
||
|
||
**最短路计数+ 次短路计数**
|
||
|
||
**题意**
|
||
已知一张图（单向边），起点$S$和终点$F$，求从 $S $到 $F$ 的 **最短路** 和 **比最短路长$1$** 的路径的 **条数之和**。
|
||
|
||
**分析**
|
||
只需要计算出最短路的条数和距离、次短路的距离和条数，最后判断最短路和次短路的关系即可，在$dijkstra$求最短路的基础上，**加一维** 保存从起点到该点的 **最短路** 和 **次短路**，**同时记录相应的数量**
|
||
|
||
如果当前点的最短路或次短路更新了，那么这个点可能松弛其他点，加入优先队列；如果等于最短路或次短路，相应的数量就加。
|
||
|
||
关于代码中①②的自我解释：
|
||
|
||
①：一个点可能被几个点松弛，每松弛一次就入一次队列，那么这个点也会出几次队列，也就会重复松弛后面的点，路径数量就会算重，所以要标记每个点的最短路和次短路是否出队，所以入队时要记录入队的是最短路还是次短路，再者，这个标记本来具有优化作用，这里求数量又多了一层意义，就不能使用其他的优化方式了
|
||
|
||
②：为什么当前点的次短路更新为当前点的最短路时，还要入队呢？当前点的最短路被松弛时已经入过队了啊，原因很简单，因为每个点入队时都记录了入队的是最短路，还是次短路，再一次更新最短路时，数量也随之更新，而上一次入队的最短路的数量就不再是自己的数量了，而是更新后最短路的数量
|
||
|
||
|
||
```cpp {.line-numbers}
|
||
#include <queue>
|
||
#include <cstring>
|
||
#include <iostream>
|
||
#include <algorithm>
|
||
using namespace std;
|
||
#define x first
|
||
#define y second
|
||
|
||
const int N = 1e3 + 13;
|
||
const int M = 1e6 + 10;
|
||
int n, m, u, v, s, f;
|
||
// 将最短路扩展为二维，含义：最短路与次短路
|
||
// dis:路径长度,cnt：路线数量,st:是否已经出队列
|
||
int dis[N][2], cnt[N][2];
|
||
bool st[N][2];
|
||
|
||
// 链式前向星
|
||
int e[M], h[N], idx, w[M], ne[M];
|
||
void add(int a, int b, int c = 0) {
|
||
e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
|
||
}
|
||
|
||
struct Node {
|
||
// u: 节点号
|
||
// d:目前结点v的路径长度
|
||
// k:是最短路0还是次短路1
|
||
int u, d, k;
|
||
const bool operator<(Node x) const {
|
||
return d > x.d;
|
||
}
|
||
};
|
||
|
||
void dijkrsta() {
|
||
priority_queue<Node> q; // 默认是大顶堆，通过定义结构体小于号，实现小顶堆。比如：认证的d值更大，谁就更小！
|
||
memset(dis, 0x3f, sizeof dis); // 清空最小距离与次小距离数组
|
||
memset(cnt, 0, sizeof cnt); // 清空最小距离路线个数与次小距离路线个数数组
|
||
memset(st, 0, sizeof st); // 清空是否出队过数组
|
||
|
||
cnt[s][0] = 1; // 起点s，0:最短路，1:有一条
|
||
cnt[s][1] = 0; // 次短路，路线数为0
|
||
|
||
dis[s][0] = 0; // 最短路从s出发到s的距离是0
|
||
dis[s][1] = 0; // 次短路从s出发到s的距离是0
|
||
|
||
q.push({s, 0, 0}); // 入队列
|
||
|
||
while (q.size()) {
|
||
Node x = q.top();
|
||
q.pop();
|
||
|
||
int u = x.u, k = x.k; // u:节点号，k:是最短路还是次短路，d:路径长度(这个主要用于堆中排序，不用于实战，实战中可以使用dis[u][k])
|
||
|
||
if (st[u][k]) continue; // ① 和dijkstra标准版本一样的，只不过多了一个维度
|
||
st[u][k] = true;
|
||
|
||
for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
|
||
int j = e[i];
|
||
int dj = dis[u][k] + w[i]; // 原长度+到节点j的边长
|
||
|
||
if (dj == dis[j][0]) // 与到j的最短长度相等，则更新路径数量
|
||
cnt[j][0] += cnt[u][k];
|
||
else if (dj < dis[j][0]) { // 找到更小的路线，需要更新
|
||
dis[j][1] = dis[j][0]; // 次短距离被最短距离覆盖
|
||
cnt[j][1] = cnt[j][0]; // 次短个数被最短个数覆盖
|
||
|
||
dis[j][0] = dj; // 更新最短距离
|
||
cnt[j][0] = cnt[u][k]; // 更新最短个数
|
||
|
||
q.push({j, dis[j][1], 1}); // ②
|
||
q.push({j, dis[j][0], 0});
|
||
} else if (dj == dis[j][1]) // 如果等于次短
|
||
cnt[j][1] += cnt[u][k]; // 更新次短的方案数，累加
|
||
else if (dj < dis[j][1]) { // 如果大于最短，小于次短，两者中间
|
||
dis[j][1] = dj; // 更新次短距离
|
||
cnt[j][1] = cnt[u][k]; // 更新次短方案数
|
||
q.push({j, dis[j][1], 1}); // 次短入队列
|
||
}
|
||
}
|
||
}
|
||
}
|
||
int main() {
|
||
#ifndef ONLINE_JUDGE
|
||
freopen("POJ3463.in", "r", stdin);
|
||
/*
|
||
答案：
|
||
3
|
||
2
|
||
*/
|
||
#endif
|
||
int T;
|
||
scanf("%d", &T);
|
||
while (T--) {
|
||
memset(h, -1, sizeof h);
|
||
scanf("%d %d", &n, &m);
|
||
while (m--) {
|
||
int a, b, c;
|
||
scanf("%d %d %d", &a, &b, &c);
|
||
add(a, b, c);
|
||
}
|
||
// 起点和终点
|
||
scanf("%d %d", &s, &f);
|
||
// 计算最短路
|
||
dijkrsta();
|
||
// 输出
|
||
printf("%d\n", cnt[f][0] + (dis[f][1] == dis[f][0] + 1 ? cnt[f][1] : 0));
|
||
}
|
||
return 0;
|
||
}
|
||
|
||
```
|