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一、题目描述
有 n 个小朋友坐成一圈，每人有 a[i] 个糖果。
每人只能给左右两人传递糖果。
每人每次传递一个糖果代价为 $1$。
求使所有人获得均等糖果的最小代价。
输入格式 第一行输入一个正整数 $n$，表示小朋友的个数。
接下来 n 行，每行一个整数 $a[i]$，表示第 i 个小朋友初始得到的糖果的颗数。
输出格式 输出一个整数，表示最小代价。
数据范围 $1≤n≤1000000,0≤a[i]≤2×10^9,$数据保证一定有解。
输入样例：
4
1
2
5
4
输出样例：
4
二、解题思路
-
假设第$1$个小朋友有$a_1$颗糖果，给第$2$个小朋友$x_1$颗糖果，从$n$获得$x_n$颗糖果，此时，他有$a_1-x_1+x_n$颗糖果，同理，第$2$个有$a_2-x_2+x_1$，第$3$有...
-
每个小朋友的目标为平均数
avg,列出约束方程为 $$\large \left{\begin{matrix} a_1-x_1+x_n=avg & \ a_2-x_2+x_1=avg & \ a_3-x_3+x_2=avg & \ ... \ a_n-x_n+x_{n-1}=avg \end{matrix}\right.我们的目标： <font color='red' size=4><b> $$\large min(|x_1|+|x_2|+...+|x_n|)$$ </b></font>
下面，我们用$x_n$来表示上面的方程组：替代x_1,x_2,...,x_{n-1}
$$\large \left{\begin{array}{l} x_1=a_1+x_n-avg \ x_2=a_2+x_1-avg =(a_1+a_2)-2avg+x_n & \ x_3=a_3+x_2-avg =(a_1+a_2+a_3)-3avg+x_n & \ ... \ x_{n-1}=(a_1+a_2+...+a_{n-1})-(n-1)*avg+x_n & \ \end{array}\right.
将$x_k$定为变量 , <font color='blue' size=4><b>常数</b></font> 定义为$c_k$，则：
$$\large \displaystyle c_k=\sum_{i=1}^{k}a_i -k*avg$$
有：
$$\large \left\{\begin{array}{l}
x_1=c_1+x_n \\
x_2=c_2+x_n \\
... \\
x_{n-1}=c_{n-1}+x_n
\end{array}\right.
因为$x_1,x_n$都是可正可负的，正的表示把这些糖果给了别人，负的表示别人把这些糖果给了自己。
所以，可以令x_n'=-x_n
上面的方程组转化为 $$\large \left{\begin{array}{l} x_1=c_1-x_n' \ x_2=c_2-x_n' \ ... \ x_{n-1}=c_{n-1}-x_n' \end{array}\right.
此时，我们的目标也就转化为:
$$\large min(|c_1-x_n'|+|c_2-x_n'|+...+|c_{n-1}-x_n'|)$$
**注意到** $|c_i-x_n'|$的几何意义是数轴上的点$c_i$到$x_n'$的距离，所以问题变成了：
> **给定数轴上的$n$个点，找出一个到他们的距离之和尽量小的点，而这个点就是这些数中的中位数,问题再次转化为经典问题：
**[$AcWing$ $104$.仓库选址](https://www.acwing.com/problem/content/106/)** ，只需要求中位数和其他数的差值的总和就可以了。**
### 三、实现代码
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1000010;
typedef long long LL;
LL a[N], c[N], sum, avg, n, res;
int main() {
// 加快读入
ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i], sum += a[i];
avg = sum / n;
// c[k]=(a[1]+a[2]+...+a[k])-k*avg
// c[k-1]=(a[1]+a[2]+...+a[k-1])-(k-1)*avg
// 努力找出c[k]与 c[k-1]之间的递推关系：
// c[k]=c[k-1]+a[k]-avg
// 所以,c数组可以通过递推得到
for (int k = 1; k <= n; k++) c[k] = c[k - 1] + a[k] - avg;
// 通过排序 => c[(n+1)/2] = 中位值
sort(c + 1, c + n + 1);
// 将x_n'放到中位值处，这样，几何含义上所有n 个位置上c1,c2,...cn到中位值的距离绝对值和最小
for (int i = 1; i <= n; i++) res += abs(c[i] - c[(n + 1) / 2]);
cout << res << endl;
return 0;
}
```