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[原文链接](https://blog.csdn.net/Sherry_Yue/article/details/88593730)
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### 1. 同余符号：$\equiv$
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**（1）含义**
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两个整数$a，b$，若它们除以整数$m$所得的余数相等，则称$a，b$对于模$m$同余，记作$a≡b(mod \ m)$。读作$a$同余于$b$模$m$，或读作$a$与$b$关于模$m$同余。
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例：$26≡14(mod \ 12)$。
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**（2）定义**
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设$m$是大于$1$的正整数，$a，b$是整数，如果$m|(a-b)$，则称$a$与$b$关于模$m$同余，记作$a≡b(mod \ m)$，读作$a$同余于$b$模$m$。
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**（3）性质**
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(1) 若$a≡0(mod\ m)$，则$m|a$;
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(2) $a≡b(mod\ m)$等价于$a$与$b$分别用$m$去除，余数相同
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### 2. 同余定理
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（1）定义
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给定一个正整数$m$，如果两个整数$a$和$b$满足$a-b$能够被$m$整除，即$(a-b)/m$得到一个整数，那么就称整数$a$与$b$对模$m$同余，记作$a≡b(mod\ m)$。
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反身性：$a≡a (mod\ m)$；
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对称性：若$a≡b(mod \ m)$，则$b≡a (mod\ m)$；
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传递性：若$a≡b(mod \ m)$，$b≡c(mod \ m)$，则$a≡c(mod \ m)$；
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同余式相加减：若$a≡b(mod\ m)$，$c≡d(mod \ m)$，则$a±c≡b±d(mod\ m)$；
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同余式相乘：若$a≡b(mod\ m)，c≡d(mod\ m)$，则$a∗c≡b∗d(mod \ m)$。
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同余式数乘：若$a≡b(mod\ m)$，则$a\times k≡b \times k(mod \ m)$，$k$为任意整数。
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**除法**：若 $a∗c≡b∗c\ (mod\ m)$,$c≠0$，则
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$a≡b(mod\ m/(gcd(c,m)))$ ，其中$gcd(c,m)$表示$c$和$m$的最大公约数，特殊地，$gcd(c,m)=1$，则 $a≡b(mod \ m)$ ；
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**幂运算**：如果$a≡b(mod \ m)$ ，那么 $a^n ≡b^n
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(mod \ m)$ ；
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