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一、前导知识
1、三角形全等判定定理
1.三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称$SSS$或“边边边”),这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。
2.有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等($SAS$或 “边角边”)。
3.有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等($ASA$或 “角边角”)。
4.有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等($AAS$或 “角角边”)。
5.直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等($HL$或“斜边,直角边”)。 $SSS,SAS,ASA,AAS,HL$均为判定三角形全等的定理。
注意：在全等的判定中,没有$AAA$(角角角)和$SSA$(边边角)(特例：直角三角形为HL,属于SSA),这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。
$Tips$
两个角相加等于 90^ \circ ，叫互余；两个角相加等于 $180^ \circ$，叫互补
2、垂直平分线
1、线段的垂直平分线（中垂线）
（1）定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线。
（2）性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。
（3）判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
（4）画法：线段$AB$的垂直平分线，分别以线段$AB$两个端点为圆心，大于$AB$长为半径画弧，两弧交于两点$CD$，则直线$CD$是线段$AB$的垂直平分线。
2、轴对称
（1）轴对称图形:如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线叫做对称轴。
（2）轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果能够与另一个图形完全重合，就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线是对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点
（3）性质：
①关于某条直线对称的两个图形是全等形
②如果两个图形关于某条子线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连接线段的垂直平分线；
③两个图形关于某一条直线对称，如果它们的对应线段或者延长线相交，那么交点在对称轴上。注：轴对称图形一定是全等形，全等的图形不一定成轴对称。
二、练习题
思路：
- 因题目告之
AB=CB,同时\angle ABC=90^ \circ,所以是一个等腰直角三角形。 \angle CBE + \angle DBA= \angle DBA+ \angle DAB\therefore\angle CBE = \angle DAB- 又
\because BC=AB
根据直角三角形判断相等 $AAS$，
\therefore \triangle CEB \cong \triangle ADB
\therefore EB=AD=3,DE=DB-EB=CE-DB=5-3=2
解:$\triangle CEB $ \cong \triangle CDA 即可，SAS
解：\triangle BDA \cong \triangle ACE \therefore \angle 3= 55^ \circ
解：
① \because \angle ABC= 45^ \circ
\therefore \triangle ABD 为等腰直角三角形， AB=DB
\therefore \triangle DFB \cong \triangle FDB (AAS)
证毕
②
\because FB=DC \angle ADC= 90^ \circ
\triangle FDC 为等腰直角三角形
\therefore \angle FCD= 45^ \circ
证毕
③ BF=2EC,所以$E$为中点，$BE$就是垂直平分线。
$\therefore AF=FC,AB=BC$(垂直平分线的性质)
\therefore AB=BD+CD=AD+CD=AF+DF+CD=CF+DF+CD
证毕
湖北鄂州 中考真题 初中数学 2020
\triangle AOC \cong \triangle BOD
\therefore AC=BD ② ✔
\because \angle AMB= \angle DMC (对顶角)
\angle ACO =\angle ODB
\therefore \angle COD=CMD (两个三角形中，有一个共顶角，另外两个角相等，剩下的两个角也一定相等)
\therefore \angle AMD= \angle COD= 36^ \circ ① ✔
由$O$向AC,$BD$引出垂线，垂足为$H,G$，因为 \triangle AOC \cong \triangle BOD ,所以对应边的垂线长度也一定要等，$\triangle OHM $与 $\triangle OMG $共用一条边OM,并且，另一条直线边还相等，所以
\triangle OHM \cong \triangle OGM
\therefore \angle AMO =\angle DMO ④ ✔
现在还看一下 ③
反证法：假设 \angle AOM=\angle MOD 看看会不会有矛盾产生。
\large \left\{\begin{matrix}
\angle AOM= \angle MOD & \\
OM=OM & \\
\angle OMA= \angle OMD & (上面的结论 ④)
\end{matrix}\right.
根据$ASA$定理，则 \triangle AOM \cong \triangle OMD
\therefore OA=OD=OC,而题目明确给出OA<OC,所以假设错误，③ ✘
总结
- 构造直角三角形,利用三角形全等来判断角是不是相等
- 反证法，同时注意读题中的隐含条件，想一想他为什么要给出这样一个条件
$SAS$可以证明 (1)
连接A->M,根据结论(1),依然有 \triangle AMO \cong \triangle NOB
\because \angle OAB=45 ^ \circ
\angle MAO=\angle OBA=45 ^ \circ
\therefore \angle MAN=90 ^ \circ
MN=BN
MN^2=AB^2=2ON^2
证毕
前导知识 ####学习平行四边形判定要学好，这五种方法要掌握牢
解：
延长$AD$，截取DE=AD 则$D$为$AE,BC$的中点，平行四边形判定办法，知道$ABCE$为平行四边形。
AE<AB+BE=AB+AC=7+5=12,所以AD<6
同时，AE>AC-CE=7=5=2,所以AD>1
选A
三个都需要仔细思考，并由教师进行点拨
答：
(1) SAS
(2) AB-AC<AE<AB+AC \Rightarrow 2 <AE <10 \Rightarrow 1<AD<5
(3)
- $BF$与$AC$不在一个三角形中，不好直接证明，需要引辅助线。
- 一般中线的题，都是把中线延长一倍，然后再来思考解决办法。
画出下图：
\triangle BDH \cong \triangle ADC \ SAS
如此，成功的把$AC$转化为BH,而$BH$与$BF$在同一个三角形中，就是证明$\triangle BFH$是等腰三角形即可，问题得到转化。
\because \triangle BHD=\triangle ADC 平行四边判定办法,内错角相等
在，而\triangle BFH=\triangle AFE,而AE=EF,所以\triangle AFE=\triangle FAC=\triangle BHA
结论：\triangle BHD=\triangle BFH \Rightarrow BF=BH=AC
【前导知识】 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
\triangle BEF \sim \triangle ABD- 欲证明
EG=GC,而GC=NG,根据直角三角形的中线定理可知，如果我们能证明$\triangle NEC$为直角三角形即可。
Q:如何证明一个三角形是直角三角形呢？
A:通过勾股定理肯定可以，这里用不上，只能从角度方向去思考：
通过瞪眼大法得知：
如果真有这个\triangle NEC=90^\circ,那么$\angle NEF=\angle BEC$(两个直角+一个共用的角)
我们现在知道：EF:EB=1:2,$DC=NF:BC=1:2$
\therefore EF:EB=NF:BC
因为\tan \alpha=1/2
90^{\circ}-\angle 1+\angle 2 +(90^{\circ}-\angle 1)=180^{\circ}
\therefore \angle 2=2 \times \angle 1
即两个成比例边的夹角:$\angle EBC=\angle EFN$
$\therefore \triangle BEC \sim \triangle FEN$，都扣去\angle FEC,则证明了\angle CEN=90^ \circ
证毕。
【前导知识】
\triangle AEG \sim \triangle BFE
比例：
\frac{AE}{BF}=\frac{AG}{BE}
同时：
AE=BE
\therefore AE^2=AG . BF=2
\therefore AE=\sqrt{2}
\therefore GF^2=CE^2+EF^2=AG^2+AE^2+BE^2+BF^2=1+2+2+4=9
\therefore GF=3
答：
\triangle EFC \cong \triangle DAE
EF=AE
BF=BC-FC=BC-AD=5
AF=\sqrt{AB^2+5^2}=\sqrt{144+25}=13
\therefore \large AE=\frac{13}{2}
\triangle ODE \cong \triangle AOB
CO是垂直平分线,证毕
辅助线：
\triangle APB \cong \triangle BPE
S_{\triangle PEC}=S_{\triangle APC} 底边长度一样，高相同。
所以阴影面积是一半的面积。
$CD$平分\angle ACB, BD \perp CD
$\triangle EBC$是等腰直角三角形
AE=BE=BD+D1+1=2
选A
\triangle AEG \cong \triangle AEC
$ED$为$\triangle GCB$中位线 BF=(AB-AC)/2
答：是$1/2$的概率
前导知识
画图解析：
题解
因为$\triangle AMN$的周长需要三长边AM,MN,AN,而分别计算出来并加在一起从题目中给出的条件看来并不现实，所以需要将一条边转化到另一条边上去，这样就可以拿到两条直边，看看能不能和题目给出的$AB、AC$建立起关系。
通过瞪眼大法得知，AN=AC-CN,所以，尝试将$CN$移动到$AB$上去,一旦成功转化，就好办了。
引辅助线：在AB延长线上截取$BF=NC$，试图证明\triangle BDF \cong \triangle DNC,很显然，通过$ASA$(BD=DC,NC=BF,\angle FBD= \angle DCN),全等三角形得证。有条件 DF=DN 成立。
现在还拿不到结论，还需要继续瞪眼大法：
\angle BDM+\angle MDN + \angle NDC= 120^ \circ
而其中\angle MDN=60 ^ \circ
\therefore \angle BDM+\angle NDC=60 ^ \circ
而\angle NDC=\angle BDF,所以\angle MDF=60^\circ ①
$MD$是公共边 ②
DF=DN ③
\therefore \triangle MDF \cong \triangle MDN (SAS)
\therefore MN=MB+BF
C_{\triangle AMN}=AM+MN+AN=AM+MB+BF+AN=AB+BF+AN=AB+AN+NC=AB+AC=2a
第二问也是成立的，因为两角相加等于180，也就是互补，一样可以证明两个三角形全等。
下面解决第三问：
\triangle BAG \cong \triangle DAF \Rightarrow \angle BAG=\angle DAF,AG=AF
\angle BAG + \angle EAD= \angle DAF + \angle EAD=\angle EAF = \frac{1}{2} \angle BAD
将$\angle DAF$移动到$\angle BAG$后，这块多出来的小角就存在于原始角$\angle BAD$中了，扣除它后，再扣除\angle EAD,则剩下的$\angle GAE$就是\frac{1}{2}\angle BAD=\angle EAF
\therefore \triangle AGE \cong \triangle EAF
\therefore EG=EF
\because EG=BE-BG
\therefore EF=BE-FD 所以，题目中说到的结论是错误的。
本题是例题，不再讲解
思路
通过两次三角形全等，可知\angle GAE=\angle EAF,FN=GH \Rightarrow \triangle DFN \cong \triangle BGH
BM^2+DN^2=BM^2+BH^2=MH^2=MN^2
\because DN=1,BM=2
\therefore 2^2+1^2=MN^2
\therefore MN=\sqrt{5}
1、证明 AN=EN
\because \angle AMN=\angle BME,\angle EAN=45^ \circ =\angle ABM
\therefore \triangle AMN \sim \triangle BME
\large \therefore \frac{AM}{BM}=\frac{MN}{ME}
同时，\angle AMB=\angle BMN
\therefore \triangle AMB \sim \triangle NME
\therefore \angle AEN=\angle BAE=45 ^ \circ
同时因为\angle EAN=45 ^ \circ
\therefore \angle ENA=90^\circ
也就是$\triangle ANE$为等腰直角三角形 ，所以 AN=NE, ① ✔
2、证明 当$AE=AF$时，\frac{BE}{EC}=2-\sqrt{2}
设正方形边长为1,设CE=x,$\Rightarrow OC=\frac{\sqrt{2}}{2}x$
\triangle AOE \cong \triangle ABE \Rightarrow AO=AB=1 \Rightarrow CO=\sqrt{2}-1
\therefore 1+ \frac{\sqrt{2}}{2}x=\sqrt{2} \Rightarrow x= 2- \sqrt{2}
\large \frac{BE}{EC}=\frac{1-(2-\sqrt{2})}{2-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}
故 ② ✘
3、证明BE+DF=EF
半角模型常见办法，就不再赘述了。 ③ ✔
4、证明 存在点E,F,使得NF>DF
这是一个大边对大角，小边对小角的知识点考查，\angle NDF=45 ^ \circ,$\angle FND=\angle NDA + \angle NAD=45^ \circ+\angle NAD$
\therefore \angle DNF> \angle NDF,$\Rightarrow $ DF>NF ④ ✘
证明\triangle BPK \cong \triangle BPD ①
\angle PKA=\angle PDC =90 ^ \circ ②
KP=PD ③
\therefore \triangle APK \cong \triangle PDC
所以第一问、第二问、第三问(稍一修改即可)都正确。
第四问：将\triangle PDC 旋转到\triangle PKA,$S_{PCBA}=S_{\triangle BKP}+S_ { \triangle BPD}$ ，所以也正确。
