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### 韦达定理
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### 练习题一
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**解题过程**：
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直接求解一元二次方程？不行的，因为方程里面除了$x$外，还有一个$a$,没法直接解的。
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从方程的两个根$x_1,x_2$看的出来，可以使用韦达定理。
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$$
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\large \left\{\begin{matrix}
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x_1+x_2=-\frac{b}{a}&=1-3a \\
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x_1 x_2=\frac{c}{a}&=2a^2-1
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\end{matrix}\right.
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$$
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目标式:$(3x_1-x_2)(x_1-3x_2)=3x_1^2-10 x_1 x_2+3x_2^2=3(x_1^2+x_2^2)-10x_1x_2$
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为了能转化为$x_1+x_2$的形式，需要进行一下配方:
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$=3(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2)-10x_1x_2$
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$=3(x_1+x_2)^2-16x_1x_2$
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$=3(1-3a)^2-16(2a^2-1)$
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$=3(1-6a+9a^2)-32a^2+16$
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$=3-18a+27a^2-32a^2+16$
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$-5a^2-18a+19=-80$
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$5a^2+18a-19=80$
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$5a^2+18a-99=0$
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转化为一元二次方程形式，根据求根公式，计算
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$a=\frac{-18 \pm \sqrt{18^2+4*5*99}}{2\times 5}$
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$a=\frac{-18 \pm 48}{10}$
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$\therefore a_1=-6.6,a_2=3$
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**易错点**
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因为使用了求根公式，能够得到实数根的前提是方程有实数根，即要求$\triangle=b^2-4ac>=0$
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验证一下两个根:
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计算$\triangle=b^2-4ac=(3a-1)^2- 4 \times (2a^2-1)$
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- $a_1=3$代入，$\triangle=8^2-4\times 17=-4<0$ ,此解需要舍去
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- $a_2=-6.6$代入,$20.8^2-4\times (-2*6.6*6.6-1)>0$
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所以，最终的答案只有$a=-6.6$ |