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##[$AcWing$ $125$. 耍杂技的牛](https://www.acwing.com/problem/content/description/127/)
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### 一、题目描述
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农民约翰的 $N$ 头奶牛（编号为 $1..N$）计划逃跑并加入马戏团，为此它们决定练习表演杂技。
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奶牛们不是非常有创意，只提出了一个杂技表演：
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叠罗汉，表演时，奶牛们站在彼此的身上，形成一个高高的垂直堆叠。
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奶牛们正在试图找到自己在这个堆叠中应该所处的位置顺序。
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这 $N$ 头奶牛中的每一头都有着自己的重量 $W_i$ 以及自己的强壮程度 $S_i$。
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一头牛支撑不住的可能性取决于它头上所有牛的总重量（不包括它自己）减去它的身体强壮程度的值，现在称该数值为 **风险值**，风险值越大，这只牛撑不住的可能性越高。
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您的任务是 **确定奶牛的排序**，使得所有奶牛的风险值中的 **最大值尽可能的小**。
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**输入格式**
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第一行输入整数 $N$，表示奶牛数量。
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接下来 $N$ 行，每行输入两个整数，表示牛的重量和强壮程度，第 $i$ 行表示第 $i$ 头牛的重量 $W_i$ 以及它的强壮程度 $S_i$。
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**输出格式**
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输出一个整数，表示最大风险值的最小可能值。
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**数据范围**
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$1≤N≤50000$,
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$1≤W_i≤10,000$,
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$1≤S_i≤1,000,000,000$
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**输入样例**：
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```cpp {.line-numbers}
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3
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10 3
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2 5
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3 3
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```
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**输出样例**：
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```cpp {.line-numbers}
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2
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```
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### 二、算法思路
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假设所有牛的顺序已排好，我们把第$i$头牛和第$i+1$头牛的位置互换一下,看看会发生什么情况：
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| 牛 | 交换前 | 交换后 |
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| :---: | :---------------------------: | :---------------------------------: |
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| $i$ | $$\sum_{j=1}^{i-1}w_j-s_i$$ | $$\sum_{j=1}^{i-1}w_j+w_{i+1}-s_i$$ |
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| $i+1$ | $$\sum_{j=1}^{i}w_j-s_{i+1}$$ | $$\sum_{j=1}^{i-1}w_j-s_{i+1}$$ |
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**其他牛的危险值显然不变**，所以分析交换前后这两头牛中最大的危险值即可。
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将上述式子进行化简，四个式子每个减去
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$$\sum_{j=1}^{i-1}w_j$$
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得到:
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| 牛 | 交换前 | 交换后 |
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| :---: | :-------------: | :-----------: |
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| $i$ | $-s_i$ | $w_{i+1}-s_i$ |
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| $i+1$ | $w_{i}-s_{i+1}$ | $-s_{i+1}$ |
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$\because$ $s,w$都是正数
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$\therefore$ $w_i-s_{i+1}>-s_{i+1},w_{i+1}-s_i>-s_i$
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所以，交换前后的最大值，就是在比较 $w_i-s_{i+1},w_{i+1}-s_i$：
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- 当$w_i-s_{i+1}>=w_{i+1}-s_i$，即$w_i+s_i>=w_{i+1}+s_{i+1}$时，交换后更优
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- 当$w_i-s_{i+1}<w_{i+1}-s_i$，即$w_i+s_i<w_{i+1}+s_{i+1}$时，交换前更优
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作法: 按每头牛的 $w + s$ 进行升序排序,然后根据题意算出每头牛的危险值记录其中的最大值即可。
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### 三、完整代码
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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typedef pair<int, int> PII;
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const int INF = 0x3f3f3f3f;
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const int N = 50010;
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PII cow[N];
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int n;
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int main() {
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cin >> n; //奶牛的数量
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for (int i = 0; i < n; i++) {
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int s, w; //牛的重量和强壮程度
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cin >> w >> s;
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cow[i] = {w + s, w}; //之所以这样记录数据，是因为我们找到贪心的公式，按 wi+si排序
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}
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//排序
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sort(cow, cow + n);
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//最大风险值
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int res = -INF, sum = 0;
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for (int i = 0; i < n; i++) {
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int s = cow[i].first - cow[i].second, w = cow[i].second;
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res = max(res, sum - s); //res为最大风险值
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sum += w; //sum=w1+w2+w3+...+wi
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}
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printf("%d\n", res);
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return 0;
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}
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``` |