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##AcWing 1023. 买书

【总结】背包问题的至多/恰好/至少

一、题目描述

小明有 n 块钱全部用来买书，现有 10 元， 20 元， 50 元， 100 元的书

每本书可以 购买多次，求小明有 多少种 买书方案,（每种书可购买多本）

输入格式

一个整数 $n$，代表总共钱数。

输出格式

一个整数，代表选择方案种数。

数据范围

0≤n≤1000

输入样例1：

输出样例1：

输入样例2：

输出样例2：

输入样例3：

输出样例3：

二、分析

一共有 n 个物品，每个物品有体积 $v_i$，价值 $w_i$，每个物品能够选多次

求总体积恰好是$m$的方案数

这是一道 裸的完全背包问题求解方案数

闫氏$DP$分析法

状态表示——集合：f[i][j] 表示考虑前$i$个数字，且总数字和恰好 $j$的集合下能获得的方案数。

状态表示——属性：因为是求方案数，故为 $count$。

状态计算——集合划分：考虑第 i 个数选不选。

不选或选不了（剩余数量不够 $j<a[i]$）：$f[i−1][j]$。
选：$f[i][j−a[i]]$。

初始状态：f[0][0]

目标状态：f[n][m]

二、原始朴素版本

时间复杂度：O(n^2 \times m)

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 5;
const int M = 1010;

int v[N] = {0, 10, 20, 50, 100}; // 每种货币，下标从1开始
int n, m;                        // 货币种类，钱数
int f[N][M];                     // 前i种物品，体积恰好是j的情况下的最大值

// 完全背包
int main() {
    n = 4;
    cin >> m;
    // 前0种物品，体积是0的情况下只有一种方案
    // 一般询问方案数的问题f[0]都会设置为1
    //  Q:那20元钱呢？不买；买两本10块的；每一本20的。三种呀
    //  A:题目说的全部，钱要花完
    f[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++)                // 每个物品
        for (int j = 0; j <= m; j++)            // 每个体积
            for (int k = 0; v[i] * k <= j; k++) // 个数
                f[i][j] += f[i - 1][j - v[i] * k];
    printf("%d\n", f[n][m]);
    return 0;
}

三、完全背包—经典优化

对 f(i,j) 的 状态转移方程 进行变形尝试找出$f(i,j)$与它的前序$f(i,j-v_i)$之间的关联关系，看看能否实现$f(i,j-v_i) \rightarrow f(i,j)$的迁移：

\large f(i,j)=f(i-1,j)+f(i-1,j-v_i)+...+f(i-1,j-s\cdot v_i)① \large f(i,j-v_i)=　　　f(i-1,j-v_i)+...+f(i-1,j-s\cdot v_i)②

注：把体积$j-v_i$代入①式,就可以得到 ②式

$Q:$①和②中的$s$是一个值吗？ 答：是一个值。从事情本质出发，$s\cdot v_i$含义:在$j$这么大的空间限制下，最多可以装多少个$i$物品，当然是同一个个数值$s$了。

由上述两个等式可以获得如下递推式：

\large f(i,j)=f(i−1,j)+f(i,j−v_i)

新的 状态转移方程 ，时间复杂度 O(n \times m)

二维优化版本

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 1010;
int v[5] = {0, 10, 20, 50, 100};
int f[5][N];

int main() {
    int m;
    cin >> m;
    // 前0种物品，体积是0的情况下只有一种方案
    f[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= 4; i++)
        for (int j = 0; j <= m; j++) {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if (v[i] <= j) f[i][j] += f[i][j - v[i]];
        }
    printf("%d\n", f[4][m]);
    return 0;
}

观察到该 转移方程 对于第 i 阶段的状态，只会使用第 i-1 层和第 i 层的状态

因此我们也可以采用 $01$背包 的空间优化方案

时间复杂度：O(n×m)

空间复杂度：O(m)

一维优化解法

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 1010;
int v[5] = {0, 10, 20, 50, 100};
int f[N];

// 体积限制是恰好是，因此需要初始化f[0][0]为合法解1，其他位置为非法解0。
int main() {
    int m;
    cin >> m;
    // 前0种物品，体积是0的情况下只有一种方案
    f[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= 4; i++)
        for (int j = v[i]; j <= m; j++)
            f[j] += f[j - v[i]];
    // 输出
    printf("%d\n", f[m]);
    return 0;
}

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