167 lines
8.0 KiB
Markdown
167 lines
8.0 KiB
Markdown
## [SPOJ 2878 KNIGHTS - Knights of the Round Table](https://www.spoj.com/problems/KNIGHTS/)
|
||
|
||
> **注**：本题大多数网上题解是写的洛谷的链接，但洛谷现在无法做判题操作，提示`Unkwon Error`,只好找到了原题，尝试修改代码并不断完善。
|
||
> **[洛谷链接](https://www.luogu.org/problem/SP2878)**
|
||
|
||
### 一、前言
|
||
有 $n$ 个人，其中 $k$ 个人能进行一次会议当且仅当：$k$是奇数，这$k$个人坐一圈能满足任意相邻两人不相互憎恶。问有多少个人不能参加任何一场会议。
|
||
|
||
### 二、思路
|
||
首先它是圆桌骑士开会，所以他们开会的样子是一个环，并且避免平票需要只有奇数个人（不能一人开会）。将仇恨关系建图不好做，于是 **建立补图，将可以坐在一起的骑士连边**，这样形成了一个可能的座位形状,然后去里面找 **尽可能多的奇环,输出不被任何一个奇环包括的骑士。**
|
||
|
||
**思考过程**
|
||
|
||
- ① 在一张无向图中尝试找出奇数个节点的环，简称奇数环
|
||
- ② 学习过$Tarjan$算法，算法在执行完后，就生成了多个点双，同时，缩点后的图，就不再有环。
|
||
- ③ 原来有环，后来没环，环去了哪里？是去了每个点双中，也就是说，如果我们在缩点过程中，就找出了一堆点双，点双里面是可以有环的，但可能：
|
||
- 全是奇数个节点环
|
||
- 全是偶数个节点环
|
||
- 有奇数个节点环，有偶数个节点环【**这个也算是奇数环，下面有证明**】
|
||
- ④ 在一个图中，找奇环可以用黑白染色法,如果发现矛盾，就是发现奇数环，否则就是没有奇数环
|
||
- ⑤ 对于在奇环中的点进行标识，最后从来没有被标识过的点，就是被放弃的人员。
|
||
|
||
### 三、相关性质及证明
|
||
|
||
> **对于一个点双连通分量，里面若是有一个奇环，那么该点双连通分量里面所有的点都可以被包括在奇环之中**
|
||
|
||
|
||
显然，奇环内不光点数是奇数，边数也是奇数。假如一个点双里面存在一个奇环：
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
那么和这个奇环的连接方式无非两种（显然所有连接方式都可以拆解成这最简单的两种）：
|
||
|
||
|
||
- **有奇数个点的链与它连接**
|
||
|
||
这里用 $1$ 个点作例子：
|
||
|
||
|
||
|
||
我们发现这个点显然与左边的几个点组成了一个大小为 $5$ 的奇环。
|
||
|
||
- **有偶数个点的链与它连接**
|
||
|
||
这里用 $2$ 个点做例子：
|
||
|
||
|
||
显然，这两个红色点和右边的三个黑色点组成了一个大小为 $5$ 的奇环。
|
||
|
||
那么各位应该能找到一个规律：对于一条长度为 $x$ 的链，它与奇环中的 $a , b$ 两点相连，而在奇环上 $a,b$ 之间恰好存在一条长度为奇数的路径和一条长度为偶数的路径，假如 $x$ 是偶数，那么和长度为奇数的路径组合即可得到奇环，否则与长度为偶数的组合。
|
||
|
||
**证毕。**
|
||
|
||
### $Code$
|
||
|
||
```cpp {.line-numbers}
|
||
#include <bits/stdc++.h>
|
||
using namespace std;
|
||
const int N = 1010, M = 1e6 + 10;
|
||
|
||
// 链式前向星
|
||
int e[M], h[N], idx, w[M], ne[M];
|
||
void add(int a, int b, int c = 0) {
|
||
e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
|
||
}
|
||
int g[N][N]; // 记录任意两个节点之间的憎恨关系
|
||
int n, m; // n个节点，m个关系,本题不是m条边，因为建的是补图
|
||
int color[N]; // 黑白染色法标识的颜色
|
||
int st[N]; // 是不是点双中的节点
|
||
int res[N]; // 标识数组，出现在奇数环的点双中，就是1，没有出现过就是0
|
||
|
||
// 二分染色法
|
||
int dfs(int u, int fa) {
|
||
for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
|
||
int v = e[i];
|
||
if (v == fa || !st[v]) continue; // 必须是点双里的点，才能搜索,要不你搜索的就不对啦，看明白这个st数组的意义的吧~
|
||
if (color[v] == -1) { // 如果v点未染色
|
||
color[v] = color[u] ^ 1; // 反向黑白染色
|
||
if (dfs(v, u)) return 1; // 继续探索v节点，如果v节点完成后，发现了冲突，则u也汇报冲突
|
||
} else if (color[v] != (color[u] ^ 1)) // 如果已染色，并且，存在染色冲突
|
||
return 1; // 报告冲突
|
||
}
|
||
return 0;
|
||
}
|
||
|
||
// Tarjan算法，求点双
|
||
int dfn[N], low[N], stk[N], top, ts;
|
||
vector<int> bcc[N];
|
||
int bcnt;
|
||
void tarjan(int u, int fa) {
|
||
dfn[u] = low[u] = ++ts;
|
||
stk[++top] = u;
|
||
|
||
for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
|
||
int v = e[i];
|
||
if (!dfn[v]) {
|
||
tarjan(v, u);
|
||
low[u] = min(low[u], low[v]);
|
||
|
||
if (low[v] >= dfn[u]) { // 出现点双
|
||
// 业务需要,初始化临时变量数组
|
||
memset(st, 0, sizeof st); // 一个点双一清空，防止误判
|
||
memset(color, -1, sizeof color); // 黑白染色的标识数组也清空
|
||
|
||
// 利用栈内元素弹出，可以获取此环中有哪些节点，对节点标识已访问，并且计数
|
||
int x;
|
||
bcnt++;
|
||
do {
|
||
x = stk[top--];
|
||
bcc[bcnt].push_back(x);
|
||
st[x] = 1;
|
||
} while (x != v); // 将子树出栈
|
||
bcc[bcnt].push_back(u); // 把割点/树根也丢到点双里
|
||
|
||
st[u] = 1; // 将当前点双之中的全部打上标记
|
||
color[u] = 0; // u标识为黑色，0：黑，1：白
|
||
|
||
// 二分图染色
|
||
// ① 环中节点数量必须大于等于3
|
||
// ② 二分图染色存在冲突=>是奇数环
|
||
// ③ 无向图进行黑白染色，必须设置fa参数，防止走回头路
|
||
// ④ 枚举每个点双中的节点，标识已节点出现在奇数环中
|
||
if (bcc[bcnt].size() >= 3 && dfs(u, -1))
|
||
for (int i : bcc[bcnt]) res[i] = 1;
|
||
}
|
||
} else
|
||
low[u] = min(low[u], dfn[v]);
|
||
}
|
||
}
|
||
|
||
int main() {
|
||
#ifndef ONLINE_JUDGE
|
||
freopen("SP2878.in", "r", stdin);
|
||
#endif
|
||
while (scanf("%d %d", &n, &m) && m + n) {
|
||
memset(g, 0, sizeof g); // 多组测试数据，每次清空憎恨数组
|
||
memset(h, -1, sizeof h); // 初始化链式前向星
|
||
idx = 0;
|
||
|
||
memset(dfn, 0, sizeof dfn); // Tarjan算法要测试多轮，清空数组【时间戳数组】
|
||
memset(low, 0, sizeof low); // Tarjan算法要测试多轮，清空数组【回溯祖先数组】
|
||
memset(res, 0, sizeof res); // 清空是否在奇数环中的标识数组
|
||
|
||
// 读入m条憎恨关系，注意：不要直接建图！因为最终的摆放方式不是憎恨的相邻摆放，而是不憎恨的相邻摆放！
|
||
while (m--) {
|
||
int a, b;
|
||
scanf("%d %d", &a, &b);
|
||
g[a][b] = g[b][a] = 1;
|
||
}
|
||
// 建立补图
|
||
for (int i = 1; i <= n; i++)
|
||
for (int j = i + 1; j <= n; j++) // i<j，这样循环次数少，一次干两事~
|
||
if (!g[i][j]) add(i, j), add(j, i); // 无向图
|
||
|
||
// 跑Tarjan算法，缩点，每个点都是一个点双连通分量
|
||
for (int i = 1; i <= n; i++)
|
||
if (!dfn[i]) tarjan(i, -1); // 可能会不连通，找点双
|
||
|
||
// 计算未被加入到任何一个奇数环中的人员有多少个
|
||
int ans = 0;
|
||
for (int i = 1; i <= n; i++) ans += (res[i] == 0); // 加上不被点双标记的
|
||
printf("%d\n", ans);
|
||
}
|
||
return 0;
|
||
}
|
||
``` |