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ZJOI 2004 嗅探器

一、题目大意

给出一张无向图以及两个点 root 和 $ed$，找出一个编号最小的并且在所有root 到 ed 的路径上的点。

二、解题思路

  考虑缩点时的过程，设$u$是$v$的祖先，我们通过找$v$为根的搜索子树是否能延伸到时间戳小于$u$的节点来判断$u$是否为割点。如果该子树不能延伸至$u$以上，则去掉$u$后该子树会与其余部分 失去联系。

  由此我们这样想：如果我们以一个信息中心$root$为根开始搜索，找到一个非根的割点$u$；此时若对应的子树根$v$的时间戳小于等于$b$的时间戳，则说明$b$存在于$v$的子树内。

  这很显然，由于$dfn$随$dfs$序更新，若还没搜到$b$，则其$dfn$为$0$；或者$dfn$不为$0$而小于$v$，则说明$b$在进入$v$以前已经被搜到了。

  那么如果把$u$断掉，$v$的整棵子树都会与根$root$失去联系，$u$就是所求的点之一。

  算法只对原$Tarjan$函数的判断条件略做了修改，因此效率得到了极大保留，时间复杂度 O(n+m)

三、实现代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int N = 200010, M = N << 1;
int n;
bool st[N];
// 链式前向星
int e[M], h[N], idx, w[M], ne[M];
void add(int a, int b, int c = 0) {
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
}
int ans = INF;
int root, ed;

// Tarjan算法求割点
int dfn[N], low[N], ts;
void tarjan(int u, int fa) {
    low[u] = dfn[u] = ++ts;

    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
        int v = e[i];
        if (v == fa) continue;
        if (!dfn[v]) {
            tarjan(v, u);
            low[u] = min(low[u], low[v]);
            // u是割点
            if (u != root && low[v] >= dfn[u]) {
                if (u == ed) continue; // 根据题意，u必须在root和ed之间
                if (dfn[ed] >= dfn[v]) ans = min(ans, u);
            }
        } else
            low[u] = min(low[u], dfn[v]);
    }
}

int main() {
    // 初始化链式前向星
    memset(h, -1, sizeof h);

    scanf("%d", &n);
    int x, y;
    while (scanf("%d %d", &x, &y), x || y)
        if (x != y) add(x, y), add(y, x);

    scanf("%d %d", &root, &ed);
    tarjan(root, -1); // 从其中一个信息中心开始遍历

    if (ans == INF)
        printf("No solution");
    else
        printf("%d", ans);
    return 0;
}