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【四边形不等式】
前言
四边形不等式 是一种 动态规划优化 方法，通过对 决策单调性 的证明及应用，使得总体复杂度 降低一个数量级 。目前我见过的四边形不等式的题目不多，且大多数比较裸。四边形不等式的常见模型及其基础应用并不难，难点在于与四边形不等式相关的证明，尤其是题目中出现以前没有见过的转移方程的时候。由于本人数学很渣，所以问了很多大神，尝试了各种方法绕过证明。这里把我的经验分享给大家，尤其是像我一样的数学不好的同学。所以，本文并没有证明相关的东西，如果大家想看证明，可以阅读赵爽的文章《动态规划加速原理之四边形不等式》，百度文库上应该有免费下载。
一种基本形式
四边形不等式的基本形式非常简单，用于常见的区间$dp$的优化。
转移方程形式为
\large f[i][j] = min\{f[i][k] + f[k+1][j] + w(i,j)\}~~i <= k < j
这个方程大家再熟悉不过了，长区间 可以从 短区间 转移过来，$w(i,j)$表示将闭区间$[i,j]$合并产生的费用，状态有$O(n^2)$个，每个状态的决策有$O(n)$个，总复杂度为$O(n^3)$。
现在用 四边形不等式 对其优化，首先需要知道什么是 四边形不等式 。
若函数$w(i,j)$满足$w(a,c) + w(b,d) <= w(a,d) + w(b,c)$，其中$a <= b < c <= d$，则称w 满足四边形不等式。
可以看做一个以$(a,c)$为 左上角，$(b,d)$为 右下角 的矩阵中，左上角 的值 加上 右下角的值小于 左下角 的值加上 右上角 的值。注意我们要求$b < c$，因为在实际的区间问题中，既然$w(b,c)$表示合并区间$[b,c]$的费用，那么$b$一定是小于等于$c$的。在这个限制下，如果把我们所有的状态写成一个矩阵的话，有用的状态一定是行号小于等于列号的，即所有有用的状态$f[i][j]$中，$i <= j$。
挖坑待填 2022-09-30