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##[$AcWing$ $870$. 约数个数](https://www.acwing.com/problem/content/description/872/)
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### 一、题目描述
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给定 $n$ 个正整数 $a_i$，请你输出这些数的乘积的约数个数，答案对 $10^9+7$ 取模。
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**输入格式**
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第一行包含整数 $n$。
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接下来 $n$ 行，每行包含一个整数 $a_i$。
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**输出格式**
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输出一个整数，表示所给正整数的乘积的约数个数，答案需对 $10^9+7$ 取模。
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**数据范围**
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$1≤n≤100,1≤a_i≤2×10^9$
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**输入样例：**
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```cpp {.line-numbers}
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3
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2
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6
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8
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```
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**输出样例：**
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```cpp {.line-numbers}
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12
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```
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### 二、约数个数公式
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如果$n$的唯一分解式： $$\LARGE n={p_1}^{r_1}\cdot {p_2}^{r_2} \cdot ... \cdot {p_k}^{r_k}$$
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**$n$的约数个数公式：**
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$$\large d(n) = (r_1+1) \cdot (r_2+1) \cdot ... \cdot (r_k+1)$$
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#### 证明
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以$p_1$为例，这个质数因子，可以选择$0$个，可以选择$1$个，...,最多可以选择$r_1$个，就是有$r_1+1$种选择的可能性，其它$p_2,p_3,...,p_k$都是如此，根据**乘法原理**，所有的可能性就是$(r_1+1) \cdot (r_2+1) \cdot ... \cdot (r_k+1)$。
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**举个栗子：**
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$180= 2^2 * 3^2 * 5$
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约数个数$=(1+2) * (1+2) * (1+1) =18$
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### 三、求数字连乘积的约数个数
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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#define int long long
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typedef pair<int, int> PII;
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const int N = 110;
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const int MOD = 1e9 + 7;
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unordered_map<int, int> primes;
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int n;
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signed main() {
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cin >> n;
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while (n--) {
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int x;
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cin >> x;
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for (int i = 2; i <= x / i; i++)
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while (x % i == 0) {
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x /= i;
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primes[i]++;
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}
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if (x > 1) primes[x]++;
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}
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int res = 1;
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for (auto p : primes) res = res * (p.second + 1) % MOD;
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printf("%lld\n", res);
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}
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```
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### 四、求单个数字的约数个数
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求连乘积的都会了的话，这个就简单了，不就是$n=1$时的情况吗？不多说了~ |