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一、题目描述
给定一个正整数 $n$，求 1∼n 中每个数的欧拉函数之和。
输入格式 共一行，包含一个整数 $n$。
输出格式
共一行，包含一个整数，表示 1∼n 中每个数的欧拉函数之和。
数据范围
1≤n≤10^6
输入样例：
6
输出样例：
12
二、线性筛法求欧拉函数
依托于线性筛法，可以顺带求出欧拉函数值。
(1) phi[1]=1,$φ(1)$被 定义 为1
对区间内每个数进行分情况讨论：
(2) 质数
质数$i$的欧拉函数值phi[i]=i-1
比如$7$，那么$1-6$当中有多少个数与$7$互质呢？显然$6$个都是嘛。
(3) 非质数
数字$i$在被$primes[j]$尝试筛的过程中：
(设 p_j=primes[j],简便下面的书写)
如果i\ \% \ p_j = 0, 那么 $phi[i * p_j] = phi[i] * p_j$
证明：
\because i={p_1}^{\alpha_1} * {p_2}^{\alpha_2} * {p_3}^{\alpha_3} * ... *{p_j}^{\alpha_j}*...*{p_k}^{\alpha_k} 【算术基本定理】
phi[i]= i * (1- \frac{1}{p_1}) * (1- \frac{1}{p_2}) * (1- \frac{1}{p_3}) * ... * (1- \frac{1}{p_j}) 【欧拉公式】
$p_j*i$分解质数因数的结果，只比$i$多分解了一个$p_j$，而 i \ \% \ p_j = 0 说明$i$中存在$p_j$因子，只不过指数增加了$1$个。
\therefore p_j * i ={p_1}^{\alpha_1} * {p_2}^{\alpha_2} * {p_3}^{\alpha_3} * ... *{p_j}^{\alpha_j+1}*...*{p_k}^{\alpha_k}
通过瞪眼大法观察欧拉公式可知，欧拉公式只与质数因子相关，而与质数因子的幂次无关！ 二者的质数因子没有变化，变化的只是某个质数因子的幂次。所以:
phi[p_j * i] =p_j * i * (1- \frac{1}{p_1}) * (1- \frac{1}{p_2}) * (1- \frac{1}{p_3}) * ... * (1- \frac{1}{p_j}) = phi[i] * p_j
证毕
如果i\ \% \ p_j > 0, 那么 phi[i * p_j] = phi[i] * (p_j-1)
证明：
\because i={p_1}^{\alpha_1} * {p_2}^{\alpha_2} * {p_3}^{\alpha_3} * ... *{p_k}^{\alpha_k} 【算术基本定理】
$phi[i]= i * (1- \frac{1}{p_1}) * (1- \frac{1}{p_2}) * (1- \frac{1}{p_3}) * ... * (1- \frac{1}{p_k})$【欧拉公式】
$p_j*i$分解质数因数的结果，只是比$i$多分解了一个$p_j$，而 i \ \% \ p_j>0 说明$i$中不存在$p_j$这个因子，需要写上去。
p_j * i ={p_1}^{\alpha_1} * {p_2}^{\alpha_2} * {p_3}^{\alpha_3} * ... * {p_k}^{\alpha_k} * {p_j}^{1}
\therefore phi[p_j * i]= p_j * i * (1- \frac{1}{p_1}) * (1- \frac{1}{p_2}) * (1- \frac{1}{p_3}) * ... * (1- \frac{1}{p_k}) * (1- \frac{1}{p_j})
\therefore phi[p_j * i]= p_j * phi[i] * (1 - \frac{1}{p_j}) = phi[i] * ( p_j -1)
证毕
三、实现代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N = 1e6 + 10;
int primes[N];
int cnt;
int phi[N];
int st[N];
int res;
void get_eulers(int n) {
phi[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
if (!st[i]) {
primes[cnt++] = i;
phi[i] = i - 1; // ①质数
}
for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j++) {
int t = primes[j] * i;
st[t] = 1;
if (i % primes[j] == 0) {
phi[t] = phi[i] * primes[j]; // ② i%pj==0
break;
} else
phi[t] = phi[i] * (primes[j] - 1); // ③i%pj>0
}
}
}
signed main() {
int n;
cin >> n;
get_eulers(n);
for (int i = 1; i <= n; i++) res += phi[i];
printf("%lld\n", res);
}